Bài 2.1: Viết 5 số hạng đầu và khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số (un) biết
a) \({u_n} = {10^{1 – 2n}}\) ;
b) \({u_n} = {3^n} – 7\) ;
c) \({u_n} = {{2n + 1} \over {{n^2}}}\) ;
d) \({u_n} = {{{3^n}\sqrt n } \over {{2^n}}}\)
a) \({1 \over {10}},{1 \over {{{10}^3}}},{1 \over {{{10}^5}}},{1 \over {{{10}^7}}},{1 \over {{{10}^9}}}\) Dự đoán dãy (un) giảm.
Để chứng minh, ta xét tỉ số \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = {{{{10}^{1 – 2\left( {n + 1} \right)}}} \over {{{10}^{1 – 2n}}}} = {1 \over {{{10}^2}}} < 1\). Vậy dãy số giảm
b) – 4, 2, 20, 74, 236. Xét dấu của hiệu \({u_{n + 1}} – {u_n}\)
c) \(3,{3 \over 4},{3 \over 9},{3 \over {16}},{3 \over {25}}\). Làm tương tự câu b).
d) \({3 \over 2},{{9\sqrt 2 } \over 4},{{27\sqrt 3 } \over 8},{{81\sqrt 4 } \over {16}},{{243\sqrt 5 } \over {32}}\) Phần tiếp theo có thể làm tương tự câu a).
Chú ý. Qua bốn bài tập trên, học sinh có thể rút ra nhận xét về tính hợp lí của việc xét hiệu \({u_{n + 1}} – {u_n}\) hay tỉ số \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}\) khi khảo sát tính đơn điệu của dãy số.
Bài 2.2: Trong các dãy số (un) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?
Advertisements (Quảng cáo)
a) \({u_n} = 2n – {n^2}\) ;
b) \({u_n} = n + {1 \over n}\) ;
c) \({u_n} = \sqrt {{n^2} – 4n + 7} \) ;
d) \({u_n} = {1 \over {{n^2} – 6n + 11}}\)
a) Bị chặn trên vì \({u_n} \le 1,\forall n \in N*\).
b) Bị chặn dưới vì \({u_n} \ge 2,\forall n \in N*\).
c) Bị chặn dưới vì \({u_n} \ge \sqrt 3 ,\forall n \in N*\).
Advertisements (Quảng cáo)
d) Bị chặn vì \(0 < {u_n} \le {1 \over 2},\forall n \in N*\).
Bài 2.3: Cho dãy số (un) xác định bởi
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 5 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n – 2{\rm{ voi n}} \ge {\rm{1}} \hfill \cr} \right.\)
a) Tìm công thức tính (un) theo n ;
b) Chứng minh (un) là dãy số tăng.
a) ĐS: \({u_n} = 5 + {{\left( {n – 1} \right)\left( {3n – 4} \right)} \over 2}\)
b) Tương tự bài Bài 2.1
Bài 2.4: Cho dãy số (un) với
a) Viết công thức truy hồi của dãy số ;
b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới ;
c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.
a) Ta có \({u_1} = 0\)
Xét hiệu \({u_{n + 1}} – {u_n} = {\left( {n + 1} \right)^2} – 4\left( {n + 1} \right) + 3 – {n^2} + 4n – 3 = 2n – 3\)
Vậy công thức truy hồi là
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 0. \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n – 3{\rm\,\,{ với }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
b) \({u_n} = {n^2} – 4n + 3 = {\left( {n – 2} \right)^2} – 1 \ge – 1\). Vậy dãy số bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.
c) \(\eqalign{
& {S_n} = 1 + {2^2} + {3^2} + … + {n^2} – 4\left( {1 + 2 + … + n} \right) + 3n \cr
& {\rm{ = }}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6} – 4.{{n\left( {n + 1} \right)} \over 2} + 3n \cr
& {\rm{ = }}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right) – 12n\left( {n + 1} \right) + 18n} \over 6} \cr
& {\rm{ = }}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n – 11} \right) + 18n} \over 6} \cr} \)
