Bài 37: Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau:
\(a)\,{\left( {2 – 3i} \right)^3}\,;\)
\(b)\,{{3 + 2i} \over {1 – i}} + {{1 – i} \over {3 – 2i}}\,;\)
\(c)\,{\left( {x + iy} \right)^2} – 2\left( {x + iy} \right) + 5\,\,\left( {x,y \in\mathbb R} \right).\)
Với x,y nào thì số phức đó là số thực?
\(a)\,{\left( {2 – 3i} \right)^3} = {2^3} – 3.2.3i\left( {2 – 3i} \right) – {\left( {3i} \right)^3} \)
\(= 8 – 18i\left( {2 – 3i} \right) + 27i = – 46 – 9i\)
Vậy phần thực là \(-46\), phần ảo là \(-9\).
\(\eqalign{ & b)\,{{3 + 2i} \over {1 – i}} = {{\left( {3 + 2i} \right)\left( {1 + i} \right)} \over 2} = {{1 + 5i} \over 2} = {1 \over 2} + {5 \over 2}i \cr & {{1 – i} \over {3 – 2i}} = {{\left( {1 – i} \right)\left( {3 + 2i} \right)} \over {13}} = {{5 – i} \over {13}} = {5 \over {13}} – {1 \over {13}}i \cr} \)
Do đó \(\,{{3 + 2i} \over {1 – i}} + {{1 – i} \over {3 – 2i}}\, ={1 \over 2} + {5 \over 2}i +{5 \over {13}} – {1 \over {13}}i = {{23} \over {26}} + {{63} \over {26}}i\)
Vậy phần thực là \({{23} \over {26}}\), phần ảo là \({{63} \over {26}}\)
\(c)\,\,{\left( {x + iy} \right)^2} – 2\left( {x + iy} \right) + 5 \)
\(= {x^2} – {y^2} – 2x + 5 + 2y\left( {x – 1} \right)i\)
Vậy phần thực là \({x^2} – {y^2} – 2x + 5\), phần ảo là \(2y\left( {x – 1} \right)\).
Advertisements (Quảng cáo)
Số phức đó là số thực khi vào chỉ khi \(2y\left( {x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow y = 0\) hoặc \(x = 1\).
Bài 38: Chứng minh rằng \(\left| z \right| = \left| {\rm{w}} \right| = 1\) thì số \({{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\) là số thực (giả sử \(1 + z{\rm{w}} \ne 0\)).
Ta có \(z.\overline z = {\left| z \right|^2} = 1 \Rightarrow \overline z = {1 \over z}\). Tương tự \(\overline {\rm{w}} = {1 \over {\rm{w}}}\)
Do đó \(\overline {\left( {{{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}} \right)} = {{\overline z + \overline {\rm{w}} } \over {1 + \overline z .\overline {\rm{w}} }} = {{{1 \over z} + {1 \over {\rm{w}}}} \over {1 + {1 \over z}.{1 \over {\rm{w}}}}} = {{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\).
Suy ra \({{z + {\rm{w}}} \over {1 + z{\rm{w}}}}\) là số thực.
Bài 39: Giải các phương trình sau trên C:
\(\eqalign{ & a)\,{\left( {z + 3 – i} \right)^2} – 6\left( {z + 3 – i} \right) + 13 = 0; \cr & b)\,\left( {{{iz + 3} \over {z – 2i}}} \right)^2 – 3{{iz + 3} \over {z – 2i}} – 4 = 0; \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
\(c)\,\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 0.\)
a) Đặt \({\rm{w}} = z + 3 – i\) ta được phương trình:
\(\eqalign{ & {{\rm{w}}^2} – 6{\rm{w}}+ 13 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{\rm{w}} – 3} \right)^2} = – 4 = 4{i^2} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\rm{w}} = 3 + 2i \hfill \cr {\rm{w}} = 3 – 2i \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ z + 3 – i = 3 + 2i \hfill \cr z + 3 – i = 3 – 2i \hfill \cr} \right.\cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ z = 3i \hfill \cr z = – i \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = \left\{ { – i;3i} \right\}\)
b) Đặt \({\rm{w}} = {{iz + 3} \over {z – 2i}}\) ta được phương trình: \({{\rm{w}}^2} – 3{\rm{w}} – 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\rm{w}} = – 1 \hfill \cr {\rm{w}} = 4 \hfill \cr} \right.\)
Với \({\rm{w}} = -1\) ta có \({{iz + 3} \over {z – 2i}} = – 1 \Leftrightarrow iz + 3 = – z + 2i\)
\( \Leftrightarrow \left( {i + 1} \right)z = – 3 + 2i\)
\(\Leftrightarrow z = {{ – 3 + 2i} \over {1 + i}} = {{\left( { – 3 + 2i} \right)\left( {1 – i} \right)} \over 2} = {{ – 1 + 5i} \over 2}\)
Với \({\rm{w}} = 4\) ta có \({{iz + 3} \over {z – 2i}} = 4 \Leftrightarrow \left( {4 – i} \right)z = 3 + 8i\)
\( \Leftrightarrow z = {{3 + 8i} \over {4 – i}} = {{\left( {3 + 8i} \right)\left( {4 + i} \right)} \over {17}} = {{4 + 35i} \over {17}}\)
Vậy \(S = \left\{ {{{ – 1 + 5i} \over 2};{{4 + 35} \over {17}}} \right\}\)
\(c)\,{\left( {{z^2} + 1} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {\left( {{z^2} + 1} \right)^2} – {\left[ {i\left( {z + 3} \right)} \right]^2}\)
\( = \left( {{z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right)} \right)\left( {{z^2} + 1 – i\left( {z + 3} \right)} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow\left[ \matrix{ {z^2} + 1 + i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr {z^2} + 1 – i\left( {z + 3} \right) = 0\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right.\)
Phương trình (1) là phương trình bậc hai \({z^2} + iz + 1 + 3i = 0\);
\(\Delta = – 5 – 12i = {\left( {2 – 3i} \right)^2}\)
Phương trình có hai nghiệm là \({z_1} = 1 – 2i\) và \({z_2} = – 1 + i\).
Phương trình (2) là phương trình bậc hai \({z^2} – iz + 1 – 3i = 0\);
\(\Delta = – 5 + 12i = {\left( {2 + 3i} \right)^2}\)
Phương trình có hai nghiệm là \({z_3} = 1 + 2i\) và \({z_4} = – 1 – i\)
Vậy \(S = \left\{ {1 – 2i; – 1 + i;1 + 2i; – 1 – i} \right\}\)
