Bài 4: Với các giá trị nào của a hàm số \(y = ax – {x^3}\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)
Tập xác định \(D=\mathbb R\)
\(y’ = a – 3{x^2}\)
• Nếu \(a < 0\) thì \(y’ < 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), khi đó hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).
• Nếu \(a = 0\) thì \(y’ = – 3{x^2} \le 0\) với mọi \(x \in {\mathbb R}\), \(y’=0\Leftrightarrow x=0\).
Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).
• Nếu \(a > 0\) thì \(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow x = \pm {\sqrt {a \over 3}}\)
Ta có bảng biến thiên
Trong trường hợp này, hàm số không đồng biến trên \({\mathbb R}\)
Vậy hàm số nghịch biến trên \({\mathbb R}\) khi và chỉ khi \(a \le 0\).
Bài 5: Tìm các giá trị của tham số \(a\) để hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over 3}{x^3} + a{x^2} + 4x + 3\) đồng biến trên \(\mathbb R\).
Tập xác định \(D = \mathbb R\)
\(f’\left( x \right) = {x^2} + 2ax + 4\);
\(\Delta = {a^2} – 4\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\) khi và chỉ khi \(f’\left( x \right) \ge 0,\,\forall x \in\mathbb R\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr
\Delta ‘ \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 > 0 \hfill \cr
{a^2} – 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow – 2 \le a \le 2\)
Vậy \( – 2 \le a \le 2\) thỏa mãn yêu cầu của bài toán
Bài 6: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) \(y = {1 \over 3}{x^3} – 2{x^2} + 4x – 5\)
b) \(y = – {4 \over 3}{x^3} + 6{x^2} – 9x – {2 \over 3}\)
c) \(y = {{{x^2} – 8x + 9} \over {x – 5}}\)
d) \(y = \sqrt {2x – {x^2}} \)
e) \(y = \sqrt {{x^2} – 2x + 3} \)
f) \(y = {1 \over {x + 1}} – 2x\)
a) TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(y’ = {x^2} – 4x + 4 = {\left( {x – 2} \right)^2} \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb R\) dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x=2\)
Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\).
Advertisements (Quảng cáo)
b) TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(y’ = – 4{x^2} + 12x – 9 = – \left( {4{x^2} – 12x + 9} \right)\)
\(= – {\left( {2x – 3} \right)^2} \le 0,\forall x \in \mathbb R\) dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x = {3 \over 2}\). Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).
c) TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 5 \right\}\)
\(y’ = {{\left( {2x – 8} \right)\left( {x – 5} \right) – \left( {{x^2} – 8x + 9} \right)} \over {{{\left( {x – 5} \right)}^2}}} = {{{x^2} – 10x + 31} \over {{{\left( {x – 5} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne 5\)
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ;5} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\).
d) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(2x – {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\). TXĐ: \(D = \left[ {0;2} \right]\)
\(y’ = {{2 – 2x} \over {2\sqrt {2x – {x^2}} }} = {{1 – x} \over {\sqrt {2x – {x^2}} }};y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {y = 1} \right)\)
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).
e) TXĐ: \(D = \mathbb R\) (vì \({x^2} – 2x + 3 > 0,\forall x \in \mathbb R\))
\(y’ = {{2x – 2} \over {2\sqrt {{x^2} – 2x + 3} }} = {{x – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 2x + 3} }}\);
\(y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,(y = \sqrt 2 )\)
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
f) TXĐ: \(D =\mathbb R \backslash \left\{ { – 1} \right\}\)
\(y’ = – {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} – 2 < 0,\,\,\forall x \ne – 1\)
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( { – 1; + \infty } \right)\) .
Bài 7: Chứng minh rằng hàm số: \(f\left( x \right) = \cos 2x – 2x + 3\) nghịch biến trên \(\mathbb R\)
TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(f’\left( x \right) = – 2\sin 2x – 2 \le 0\)
\(\Leftrightarrow – 2\left( {\sin 2x + 1} \right) \le 0,\forall x \in \mathbb R\)
\(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = – 1 \)
\(\Leftrightarrow 2x = – {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in \mathbb Z\Leftrightarrow x = – {\pi \over 4} + k\pi ,k \in \mathbb Z\)
Hàm số nghịch biến trên mỗi đoạn \(\left[ { – {\pi \over 4} + k\pi ; – {\pi \over 4} + k\pi + \pi } \right]\)
Do đó hàm số nghịch biến trên mỗi \(\mathbb R\)
