Bài 1: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) \(y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\) b) \(y = {x^3} – 2{x^2} + x + 1\)
c) \(y = x + {3 \over x}\) d) \(y = x – {2 \over x}\)
e) \(y = {x^4} – 2{x^2} – 5\) f) \(y = \sqrt {4 – {x^2}} \)
a) Tập xác định: \(D =\mathbb R\)
\(\eqalign{
& y’ = 6{x^2} + 6x \cr
& y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0\,\,\left( {y = 1} \right) \hfill \cr
x = – 1\,\,\left( {y = 2} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { – 1;0} \right)\).
b) Tập xác định: \(D =\mathbb R\)
\(\eqalign{
& y’ = 3{x^2} – 4x + 1 \cr
& y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1\,\,\left( {y = 1} \right) \hfill \cr
x = {1 \over 3}\,\,\left( {y = {{31} \over {27}}} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ;{1 \over 3}} \right)\) và \(\,\left( {1; + \infty } \right)\) , nghịch biến trên khoảng \(\,\left( {{1 \over 3};1} \right)\).
c) Tập xác định: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
\(\eqalign{
& y’ = 1 – {3 \over {{x^2}}} = {{{x^2} – 3} \over {{x^2}}} \cr
& y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \sqrt 3 \,\,\left( {y = 2\sqrt 3 } \right) \hfill \cr
x = – \sqrt 3 \,\,\left( {y = – 2\sqrt 3 } \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bảng biến thiên
Advertisements (Quảng cáo)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ; – \sqrt 3 } \right)\) và \(\,\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\) , nghịch biến trên khoảng \(\left( { – \sqrt 3 ;0} \right)\) và \(\,\left( {0;\sqrt 3 } \right)\).
d) Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
\(y’ = 1 + {2 \over {{x^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne 0\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\,\,\left( { – \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).
e) Tập xác định: \(D= \mathbb R\)
\(y’ = 4{x^3} – 4x = 4x\left( {{x^2} – 1} \right);y’ = 0 \)
\( \Leftrightarrow \,\left[ \matrix{
x = 0\,\,\,\,\left( {y = – 5} \right) \hfill \cr
x = \pm 1\,\,\,\,\left( {y = – 6} \right) \hfill \cr} \right.\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\,\left( { – \infty ; – 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\), đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Advertisements (Quảng cáo)
f) Hàm số xác định khi và chỉ khi \(4 – {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow – 2 \le x \le 2\)
Tập xác định: \(D = \left[ { – 2;2} \right]\)
\(y’ = {{ – 2x} \over {2\sqrt {4 – {x^2}} }} = {{ – x} \over {\sqrt {4 – {x^2}} }};y’ = 0 \Leftrightarrow \)\(x = 0\,\,\,\left( {y = 2} \right)\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { – 2;0} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) .
Bài 2: Chứng minh rằng:
a) Hàm số \(y = {{x – 2} \over {x + 2}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó;
b)Hàm số \(y = {{ – {x^2} – 2x + 3} \over {x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
a) Tập xác định \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { – 2} \right\}\)
\(y’ = {{\left| \matrix{
1\,\,\,\, – 2 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {4 \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne – 2\)
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ; – 2} \right)\) và \(\left( { – 2; + \infty } \right)\).
b) Tập xác định \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { – 1} \right\}\)
\(y’ = {{\left( { – 2x – 2} \right)\left( {x + 1} \right) – \left( { – {x^2} – 2x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = {{ – {x^2} – 2x – 5} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0\) với mọi \(x \ne – 1\).
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { – \infty ; – 1} \right)\) và \(\left( { – 1; + \infty } \right)\).
Bài 3: Chứng minh rằng các hàm số sau đây đồng biến trên \(\mathbb R\):
a) \(f\left( x \right) = {x^3} – 6{x^2} + 17x + 4;\)
b) \(f\left( x \right) = {x^3} + x – \cos x – 4\)
a) Tập xác định: \(D =\mathbb R\)
\(f’\left( x \right) = 3{x^2} – 12x + 17 > 0\) với mọi \(x \in \mathbb R\) (vì \(a > 0,\Delta ‘ < 0\))
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\).
b) Tập xác định: \(D =\mathbb R\)
\(f’\left( x \right) = 3{x^2} + 1 + \sin x\)
Vì \(1 + \sin x \ge 0\) và \(3{x^2} \ge 0\) nên \(f’\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb R\), với \(x = 0\) thì \(1 + \sin x = 1 > 0\) nên \(f’\left( x \right) > 0\,\,\,\forall x \in \mathbb R\) do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\).
