Bài 13: Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây :
Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho \(\overrightarrow {SN} = {1 \over 3}\overrightarrow {SB} \).
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.
Giải
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, B nằm trong góc xOy.
Ta có: \(A = \left( {0;0;0} \right),C = \left( {b;0;0} \right),B = \left( {b;a;0} \right),\)
\(S = \left( {0;0;h} \right)\) .
\(M\left( {{b \over 2};0;0} \right),\overrightarrow {SB} = \left( {b;a; – h} \right)\)
Gọi \(N\left( {x;y;z} \right)\) thì \(\overrightarrow {SN} = \left( {x;y;z – h} \right)\).
\(\overrightarrow {SN} = {1 \over 3}\overrightarrow {SB} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {b \over 3} \hfill \cr
y = {a \over 3} \hfill \cr
z – h = {{ – h} \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {b \over 3} \hfill \cr
y = {a \over 3} \hfill \cr
z = {{2h} \over 3} \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow N\left( {{b \over 3};{a \over 3};{{2h} \over 3}} \right)\)
a)
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MN} = \left( {{b \over 3} – {b \over 2};{a \over 3};{{2h} \over 3}} \right) = \left( { – {b \over 6};{a \over 3};{{2h} \over 3}} \right) \cr
& MN = \sqrt {{{{b^2}} \over {36}} + {{{a^2}} \over 9} + {{4{h^2}} \over 9}} \cr&= {1 \over 6}\sqrt {{b^2} + 4{a^2} + 16{h^2}} \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
b) \(MN \bot SB \Leftrightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {SB} = 0 \)
\(\Leftrightarrow – {{{b^2}} \over 6} + {{{a^2}} \over 3} + {{ – 2{h^2}} \over 3} = 0 \Leftrightarrow 4{h^2} = 2{a^2} – {b^2}\)
Bài 13: Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây :
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x + 2y + 1 = 0\)
b) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x – 3y + 15z – 2 = 0\)
c) \(9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} – 6x + 18y + 1 = 0\)
Giải
a) Ta có
\(\eqalign{
& {x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x + 2y + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 8x + 16} \right) + \left( {{y^2} + 2y + 1} \right) + {z^2} = 16 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 16 \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Mặt cầu có tâm \(I\left( {4; – 1;0} \right)\) và có bán kính R = 4.
b) Ta có
\(\eqalign{
& 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x – 3y + 15z – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – y + 5z – {2 \over 3} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – {1 \over 2}} \right)^2} + {\left( {z + {5 \over 2}} \right)^2} = {{49} \over 6} \cr} \)
Mặt cầu có tâm \(I\left( { – 1;{1 \over 2}; – {5 \over 2}} \right)\) và có bán kính \(R = {{7\sqrt 6 } \over 6}\).
c)
\(\eqalign{
& 9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} – 6x + 18y + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – {2 \over 3}x + 2y + {1 \over 9} = 0 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x – {1 \over 3}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 1 \cr} \)
Mặt cầu có tâm \(I\left( {{1 \over 3}; – 1;0} \right)\) và có bán kính R = 1.
Bài 14: Trong mỗi trường hợp sau, hãy viết phương trình mặt cầu :
a) Đi qua ba điểm A(0 ; 8 ; 0), B(4; 6 ; 2), C(0 ; 12 ; 4) và có tâm nằm trên mp(Oyz);
b) Có bán kính bằng 2, tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) và có tâm nằm trên tia Ox;
c) Có tâm I(1 ; 2 ; 3) và tiếp xúc với mp(Oyz).
Giải
a) Tâm I của mặt cầu nằm trên mp(Oyz) nên \(I\left( {0;b;c} \right)\). Ta tìm b và c để IA = IB = IC. Ta có:
\(\left\{ \matrix{
I{A^2} = I{B^2} \hfill \cr
I{A^2} = I{C^2} \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\left( {8 – b} \right)^2} + {c^2} = {4^2} + {\left( {6 – b} \right)^2} + {\left( {2 – c} \right)^2} \hfill \cr
{\left( {8 – b} \right)^2} + {c^2} = {\left( {12 – b} \right)^2} + {\left( {4 – c} \right)^2} \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
b = 7 \hfill \cr
c = 5 \hfill \cr} \right.\)
Vậy tâm \(I\left( {0;7;5} \right)\) bán kính
R = IA =\(\sqrt {0 + 1 + 25} = \sqrt {26} \).
Mặt cầu có phương trình \({x^2} + {\left( {y – 7} \right)^2} + {\left( {z – 5} \right)^2} = 26\).
b) Vì tâm của mặt cầu nằm trên tia Ox và mặt cầu tiếp xúc với mp(Oyz) nên điểm tiếp xúc phải là O, do đó bán kính mặt cầu là R = IO = 2 và \(I\left( {2;0;0} \right)\).
Mặt cầu có phương trình \({\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\)
c) Vì mặt cầu có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và tiếp xúc với mp(Oyz), vậy R = 1. Mặt cầu có phương trình \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 1\)
