Câu 81: Chu vi hình bình hành ABCD bằng 10cm, chu vi tam giác ABD bằng 9cm. Tính độ dài BD.
Chu vi hình bình hành ABCD bằng 10cm
nên (AB + AD).2 = 10 (cm)
\(⇒ AB + AD = {{10} \over 2} =5\) (cm)
Chu vi của ∆ ABD bằng :
AB + AD +BD = 9 (cm)
⇒ BD = 9 – ( AB + AD) = 9 – 5 = 4 (cm)
Câu 82: Trên hình 10, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AE // CF.
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có:
(tính chất hình bình hành)
Xét ∆ AEB và ∆ CFD :
AB = CD (tính chất hình bình hành)
\(\widehat {ABE} = \widehat {CDF}\) (so le trong)
BE = DF (gt)
Do đó: ∆ AEB = ∆ CFD (c.g.c)
⇒ BE = DF
Ta có: OB = OE + BE
OD = OF + DF
Suy ra: OE = OF
Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) // CF
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 83: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng :
a. EMFN là hình bình hành.
b. Các đường thẳng AC, EF, MN đồng quy.
Xét tứ giác AECF, ta có:
AB // CD (gt)
hay AE // CF
AE \( = {1 \over 2}\)AB (gt)
CF \(= {1 \over 2}\)CD (gt)
AB = CD (tính chất hình bình hành)
Suy ra: AE = CF
Tứ giác AECF là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau) ⇒ AF // CE hay EN // FM (1)
Xét tứ giác BFDE ta có:
AB // CD (gt) hay BE // DF
BE \( = {1 \over 2}\)AB (gt)
Advertisements (Quảng cáo)
DF \( = {1 \over 2}\)CD (gt)
AB = CD ( tính chất hình bình hành)
Suy ra: BE = DF
Tứ giác BFDE là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ BF // DE hay EM // FN (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EMFN là hình bình hành (theo định nghĩa)
b. Gọi O là giao điểm của AC và EF
Tứ giác AECF là hình bình hành ⇒ OE = OF
Tứ giác EMFN là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Suy ra: MN đi qua trung điểm O của EF
Vậy AC, EF, MN đồng quy tại O.
Câu 84
Trên hình 11, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng:
a. EGFH là hình bình hành
b. Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy.
a. Xét ∆ AEH và ∆ CFG:
AE = CF
\(\widehat A = \widehat C\) (tính chất hình bình hành)
AH = CG (vì AD = BC và DH = BG)
Do đó: ∆ AEH = ∆ CFG (c.g.c)
⇒ EH = FG
Xét ∆ BEG và ∆DFH:
DH = BG (gt)
\(\widehat B = \widehat D\) (tính chất hình bình hành)
BE = DF (vì AB = CD và AE = CF)
Do đó: ∆ BEG = ∆DFH (c.g.c)
⇒ EG = FH
Suy ra: Tứ giác EGFH là hình bình hành (vì có cắc cặp cạnh đối bằng nhau)
b. Gọi O là giao điểm của AC và EF.
Xét tứ giác AECF:
AB // CD (gt) hay AE // CF
AE = CF (gt)
Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
⇒ O là trung điểm của AC và EF
Tứ giác ABCD là hình bình hành có O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của BD.
Tứ giác EGFH là hình bình hành có O là trung điểm của EF nên O cùng là trung điểm của GH.
Vậy AC, BD, GH đồng quy tại O.
