Câu 51: Cho tam giác ABC với ba đường cao AA’, BB’, CC’. Gọi H là trực tâm của tam giác đó.
Chứng minh rằng \({{HA’} \over {AA’}} + {{HB’} \over {BB’}} + {{HC’} \over {CC’}} = 1\)
\(\eqalign{ & {S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}} = {S_{ABC}} \cr & \Rightarrow {{{S_{HBC}}} \over {{S_{ABC}}}} + {{{S_{HABC}}} \over {{S_{ABC}}}} + {{{S_{HAB}}} \over {{S_{ABC}}}} = 1 \cr} \)
Suy ra: \({{HA’.BC} \over {AA’.BC}} + {{HB’.AC} \over {BB’.AC}} + {{HC’.AB} \over {CC’.AB}} = 1\)
\( \Rightarrow {{HA’} \over {AA’}} + {{HB’} \over {BB’}} + {{HC’} \over {CC’}} = 1\)
Câu 52: Cho tam giác ABC
a. Tính tỉ số các đường cao BB’ và CC’ xuất phát từ các đỉnh B và C
b. Tại sao nếu AB < AC thì BB’ < CC’ ?
Advertisements (Quảng cáo)
a. \({S_{ABC}} = {{BB’.AC} \over 2} = {{CC’.AB} \over 2}\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow BB’.AC = CC’.AB \cr & \Rightarrow {{BB’} \over {CC’}} = {{AB} \over {AC}} \cr} \)
b. Nếu AB < AC \( \Rightarrow {{AB} \over {AC}} < 1\)
\( \Rightarrow {{BB’} \over {CC’}} < 1 \Rightarrow BB’ < CC’\)
Câu 53: Qua tâm O của hình vuông ABCD cạnh a, kẻ đường thẳng \(l\) cắt cạnh AB và CD lần lượt tại M và N. Biết MN = b. Hãy tính tổng các khoảng cách từ các đỉnh của hình vuông đến đường thẳng \(l\) theo a và b (a và b có cùng đơn vị đo)
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi h1 và h2 là khoảng cách từ đỉnh B và đỉnh A đến đường thẳng\(l\);
Tổng khoảng cách là S. Vì O là tâm đối xứng của hình vuông.
⇒ OM = ON (tính chất đối xứng tâm)
Suy ra: AM = CN
\(\widehat {AMP} = \widehat {DNS}\) (đồng vị)
\(\widehat {DNS} = \widehat {CNR}\) (đối đỉnh)
\( \Rightarrow \widehat {AMP} = \widehat {CNR}\)
Suy ra: ∆ APM = ∆ CRN (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ CR = AP = h2
AM = CD ⇒ BM = DN
\(\widehat {BMQ} = \widehat {DNS}\) (so le trong)
Suy ra: ∆ BQM = ∆ DSN (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ DS = BQ = h1
\(\eqalign{ & {S_{BOA}} = {1 \over 4}{S_{AOB}} = {1 \over 4}{a^2}(1) \cr & {S_{BOA}} = {S_{BOM}} + {S_{AOM}} = {1 \over 2}{b \over 2}.{h_1} + {1 \over 2}{b \over 2}.{h_2} = {b \over 4}\left( {{h_1} + {h_2}} \right)(2) \cr} \)
Từ (1) và (2): ${h_1} + {h_2} = {{{a^2}} \over b}\)
\(S = 2\left( {{h_1} + {h_2}} \right) = {{2{a^2}} \over b}\)
