Câu 19: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:
a. P\( = {x^2} – 2x + 5\)
b. Q\( = 2{x^2} – 6x\)
c. M\( = {x^2} + {y^2} – x + 6y + 10\)
a. P\(= {x^2} – 2x + 5)\\( = {x^2} – 2x + 1 + 4 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 4\)
Ta có:
\({\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)
\( \Rightarrow P = {x^2} – 2x + 5 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)
\( \Rightarrow P = 4\) là giá trị bé nhất ⇒ \({\left( {x – 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = 1\)
Vậy P=4 là giá trị bé nhất của đa thức khi
b. Q\( = 2{x^2} – 6x\)\( = 2\left( {{x^2} – 3x} \right) = 2\left( {{x^2} – 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} – {9 \over 4}} \right)\)
\( = 2\left[ {{{\left( {x – {2 \over 3}} \right)}^2} – {9 \over 4}} \right] = 2{\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} – {9 \over 2}\)
Ta có: \({\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} – {9 \over 2} \ge – {9 \over 2}\)
\( \Rightarrow Q = – {9 \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow {\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(Q = – {9 \over 2}\) là giá trị bé nhất của đa thức \(x = {2 \over 3}\)
c. \(\eqalign{ & M = {x^2} + {y^2} – x + 6y + 10 = \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + \left( {{x^2} – x + 1} \right) \cr & = {\left( {y + 3} \right)^2} + \left( {{x^2} – 2.{1 \over 2}x + {1 \over 4} + {3 \over 4}} \right) = {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \cr} \)
Ta có:
\(\eqalign{ & {\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0;{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \cr & \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4} \cr} \)
\( \Rightarrow M = {3 \over 4}\) là giá trị nhỏ nhất khi \({\left( {y + 3} \right)^2} = 0\)
\( \Rightarrow y = – 3\) và \({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2}\)
Vậy \(M = {3 \over 4}\) là giá trị bé nhất tại \(y = – 3\) và \(x = {1 \over 2}\)
Câu 20: Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:
a. \(A = 4x – {x^2} + 3\)
Advertisements (Quảng cáo)
b. \(B = x – {x^2}\)
c. \(N = 2x – 2{x^2} – 5\)
a. \(A = 4x – {x^2} + 3 = 7 – {x^2} + 4x – 4 = 7 – \left( {{x^2} – 4x + 4} \right) = 7 – {\left( {x – 2} \right)^2}\)
Ta có: \({\left( {x – 2} \right)^2} \ge 0\)
Suy ra: \(A = 7 – {\left( {x – 2} \right)^2} \le 7\)
Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại \(x = 2\)
b. \(B = x – {x^2})\\( = {1 \over 4} – {x^2} + x – {1 \over 4} = {1 \over 4} – \left( {{x^2} – 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4}} \right) = {1 \over 4} – {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2}\)
Vì \({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) . Suy ra: \(B = {1 \over 4} – {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \le {1 \over 4}\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là \({1 \over 4}\) tại \(x = {1 \over 2}\)
c. \(N = 2x – 2{x^2} – 5\) \( = – 2\left( {{x^2} – x + {5 \over 2}} \right) = – 2\left( {{x^2} – 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {9 \over 4}} \right)\)
\( = – 2\left[ {{{\left( {x – {1 \over 2}} \right)}^2} + {9 \over 4}} \right] = – 2{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} – {9 \over 2}\)
Vì\({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên\( – 2{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \le 0\)
Suy ra: \(N = – 2{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} – {9 \over 2} \le – {9 \over 2}\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là \( – {9 \over 2}\) tại \(x = {1 \over 2}\)
Câu 3.1 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1
Cho \({x^2} + {y^2} = 26\) và\(xy = 5\) giá trị của\({\left( {x – y} \right)^2}\) là:
A. 4
B. 16
C. 21
D. 36
Chọn B. 16
