Trang Chủ Sách bài tập lớp 8 SBT Toán 8

Bài 19, 20, 3.1 trang 7, 8 SBT Toán 8 tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức

CHIA SẺ
Bài 3, 4, 5 Những hằng đẳng thức đáng nhớ Sách bài tập Toán 8 tập 1Giải bài 19, 20, 3.1 trang 7, 8 Sách bài tập Toán 8 tập 1. Câu 19: Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức…

Câu 19: Tìm giá trị nhỏ nhất  của các đa thức:

a. P\( = {x^2} – 2x + 5\)

b. Q\( = 2{x^2} – 6x\)

c. M\( = {x^2} + {y^2} – x + 6y + 10\)

                             

a. P\(= {x^2} – 2x + 5)\\( = {x^2} – 2x + 1 + 4 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 4\)

Ta có:

\({\left( {x – 1} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)

\( \Rightarrow P = {x^2} – 2x + 5 = {\left( {x – 1} \right)^2} + 4 \ge 4\)

\( \Rightarrow P = 4\)  là giá trị bé nhất ⇒ \({\left( {x – 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = 1\)

Vậy P=4 là giá trị bé nhất của đa thức khi

b. Q\( = 2{x^2} – 6x\)\( = 2\left( {{x^2} – 3x} \right) = 2\left( {{x^2} – 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} – {9 \over 4}} \right)\)

 \( = 2\left[ {{{\left( {x – {2 \over 3}} \right)}^2} – {9 \over 4}} \right] = 2{\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} – {9 \over 2}\)

      Ta có: \({\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} – {9 \over 2} \ge  – {9 \over 2}\)

       \( \Rightarrow Q =  – {9 \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất \( \Rightarrow {\left( {x – {2 \over 3}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {2 \over 3}\)

       Vậy \(Q =  – {9 \over 2}\)  là giá trị bé nhất của đa thức \(x = {2 \over 3}\)

c. \(\eqalign{  & M = {x^2} + {y^2} – x + 6y + 10 = \left( {{y^2} + 6y + 9} \right) + \left( {{x^2} – x + 1} \right)  \cr  &  = {\left( {y + 3} \right)^2} + \left( {{x^2} – 2.{1 \over 2}x + {1 \over 4} + {3 \over 4}} \right) = {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \cr} \)

Ta có:

\(\eqalign{  & {\left( {y + 3} \right)^2} \ge 0;{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0  \cr  &  \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4} \cr} \)

\( \Rightarrow M = {3 \over 4}\)  là giá trị nhỏ nhất khi \({\left( {y + 3} \right)^2} = 0\)

\( \Rightarrow y =  – 3\)  và \({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 2}\)

Vậy \(M = {3 \over 4}\) là giá trị bé nhất tại \(y =  – 3\) và \(x = {1 \over 2}\)


Câu 20: Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức:

a. \(A = 4x – {x^2} + 3\)

b. \(B = x – {x^2}\)

c. \(N = 2x – 2{x^2} – 5\)

a. \(A = 4x – {x^2} + 3 = 7 – {x^2} + 4x – 4 = 7 – \left( {{x^2} – 4x + 4} \right) = 7 – {\left( {x – 2} \right)^2}\)

Ta có: \({\left( {x – 2} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra: \(A = 7 – {\left( {x – 2} \right)^2} \le 7\)

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại \(x = 2\)

b. \(B = x – {x^2})\\( = {1 \over 4} – {x^2} + x – {1 \over 4} = {1 \over 4} – \left( {{x^2} – 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4}} \right) = {1 \over 4} – {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2}\)

Vì \({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) . Suy ra: \(B = {1 \over 4} – {\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \le {1 \over 4}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức B là \({1 \over 4}\) tại \(x = {1 \over 2}\)

c. \(N = 2x – 2{x^2} – 5\) \( =  – 2\left( {{x^2} – x + {5 \over 2}} \right) =  – 2\left( {{x^2} – 2.x.{1 \over 2} + {1 \over 4} + {9 \over 4}} \right)\)

   \( =  – 2\left[ {{{\left( {x – {1 \over 2}} \right)}^2} + {9 \over 4}} \right] =  – 2{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} – {9 \over 2}\)

Vì\({\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\)  nên\( – 2{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} \le 0\)

Suy ra: \(N =  – 2{\left( {x – {1 \over 2}} \right)^2} – {9 \over 2} \le  – {9 \over 2}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là \( – {9 \over 2}\)  tại \(x = {1 \over 2}\)


 Câu 3.1 trang 8 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Cho \({x^2} + {y^2} = 26\)  và\(xy = 5\)  giá trị của\({\left( {x – y} \right)^2}\)  là:

A. 4

B. 16

C. 21

D. 36

Chọn B. 16