Câu 57: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a. \({x^3} – 3{x^2} – 4x + 12\)
b. \({x^4} – 5{x^2} + 4\)
c. \({\left( {x + y + z} \right)^3} – {x^3} – {y^3} – {z^3}\)
a. \({x^3} – 3{x^2} – 4x + 12\) \( = \left( {{x^3} – 3{x^2}} \right) – \left( {4x – 12} \right) = {x^2}\left( {x – 3} \right) – 4\left( {x – 3} \right)\)
\( = \left( {x – 3} \right)\left( {{x^2} – 4} \right) = \left( {x – 3} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)\)
b. \({x^4} – 5{x^2} + 4\) \( = {x^4} – 4{x^2} – {x^2} + 4 = \left( {{x^4} – 4{x^2}} \right) – \left( {{x^2} – 4} \right)\)
\( = {x^2}\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( {{x^2} – 4} \right) = \left( {{x^2} – 4} \right)\left( {{x^2} – 1} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x – 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)\)
c. \({\left( {x + y + z} \right)^3} – {x^3} – {y^3} – {z^3}\) \( = {\left[ {\left( {x + y} \right) + z} \right]^3} – {x^3} – {y^3} – {z^3}\)
\(\eqalign{ & = {\left( {x + y} \right)^3} + 3{\left( {x + y} \right)^2}z + 3\left( {x + y} \right){z^2} + {z^3} – {x^3} – {y^3} – {z^3} \cr & = {x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) + 3{\left( {x + y} \right)^2}z + 3\left( {x + y} \right){z^2} – {x^3} – {y^3} \cr & = 3\left( {x + y} \right)\left[ {xy + \left( {x + y} \right)z + {z^2}} \right] = 3\left( {x + y} \right)\left[ {xy + xz + yz + {z^2}} \right] \cr & = 3\left( {x + y} \right)\left[ {x\left( {y + z} \right) + z\left( {y + z} \right)} \right] = 3\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) \cr} \)
Câu 58: Làm phép chia
a. \(\left( {2{x^3} + 5{x^2} – 2x + 3} \right):\left( {2{x^2} – x + 1} \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
b. \(\left( {2{x^3} – 5{x^2} + 6x – 15} \right):\left( {2x – 5} \right)\)
c. \(\left( {{x^4} – x – 14} \right):\left( {x – 2} \right)\)
Câu 59: Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức sau:
a. A\( = {x^2} – 6x + 11\)
b. B\( = 2{x^2} + 10x – 1\)
c. C\( = 5x – {x^2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
a. A\( = {x^2} – 6x + 11\) \( = {x^2} – 2.3x + 9 + 2 = {\left( {x – 3} \right)^2} + 2\)
Ta có: \({\left( {x – 3} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow {\left( {x – 3} \right)^2} + 2 \ge 2\)
\( \Rightarrow A \ge 2\). Vậy A = 2 là giá trị bé nhất của biểu thức tại \(x = 3\)
b. B\( = 2{x^2} + 10x – 1\)= \(2\left( {{x^2} + 5x – {1 \over 2}} \right)\)
\(\eqalign{ & = 2\left[ {x + 2.{5 \over 2}x + {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} – {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} – {1 \over 2}} \right] \cr & = 2\left[ {{{\left( {x + {5 \over 2}} \right)}^2} – {{25} \over 4} – {2 \over 4}} \right] = 2\left[ {{{\left( {x + {5 \over 2}} \right)}^2} – {{27} \over 4}} \right] = 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} – {{27} \over 2} \cr} \)
Vì \({\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow 2{\left( {x + {5 \over 2}} \right)^2} – {{27} \over 2} \ge – {{27} \over 2}\)
\( \Rightarrow B \ge {{27} \over 2}\). Vậy B\( = – {{27} \over 2}\) là giá trị nhỏ nhất tại \(x = – {5 \over 2}\)
c. \( C= 5x – {x^2}\) \( = – ({x^2} – 5x) = – \left[ {{x^2} – 2.{5 \over 2}x + {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2} – {{\left( {{5 \over 2}} \right)}^2}} \right]\)
\( = – \left[ {{{\left( {x – {5 \over 2}} \right)}^2} – {{25} \over 4}} \right] = – {\left( {x – {5 \over 2}} \right)^2} + {{25} \over 4}\)
Vì \({\left( {x – {5 \over 2}} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow – {\left( {x – {5 \over 2}} \right)^2} \le 0 \Rightarrow – {\left( {x – {5 \over 2}} \right)^2} + {{25} \over 4} \le {{25} \over 4}\)
\( \Rightarrow C \le {{25} \over 4}\). Vậy C\( = {{25} \over 4}\) là giá trị nhỏ nhất tại \(x = {5 \over 2}\)
Câu I.1: Kết quả của phép tính \(\left( {x + 2} \right)\left( {x – 1} \right)\) là:
A. \({x^2} – 2\)
B. \({x^2} + 2x – 2\)
C. \({x^2} + x – 2\)
D. \({x^2} + 2x\)
Hãy chọn kết quả đúng.
Chọn C. \({x^2} + x – 2\)
