Câu 2.4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi BD là đường phân giác của góc B (D ∈ AC). Chứng minh rằng BD > BC.
Do BD là tia phân giác của góc ABC nên tia BD ở giữa hai tia BA và BC, suy ra D ở giữa A và C, hay AD < AC. Hai đường xiên BC, BD lần lượt có hình chiếu trên AC là AC và AD. Hơn nữa AD > AC, suy ra BD < BC. (Một cách tương tự, ta cũng chứng minh được đoạn thẳng nối B với trung điểm của đoạn thẳng AC nhỏ hơn BC)
Câu 2.5: Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng xy
a) Tìm trên đường thẳng xy hai điểm M, N sao cho hai đường xiên AM và AN bằng nhau.
b) Lấy một điểm D trên đường thẳng xy. Chứng minh rằng:
– Nếu D ở giữa M và N thì AD < AM ;
– Nếu D không thuộc đoạn thẳng MN thì AD > AM.
a) Phân tích bài toán: Giả sử M và N là hai điểm của đường thẳng xy mà AM = AN. Nếu gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ điểm A đến xy thì HM, HN lần lượt là hình chiếu của các đường xiên AM, AN.
Advertisements (Quảng cáo)
Từ AM = AN suy ra HM = HN, từ đó xác định được hai điểm M, N.
Kẻ AH vuông góc với xy (H ∈ xy)
Lấy hai điểm M, N trên xy sao cho HM = HN (1)
(dùng compa vẽ một đường tròn tâm H bán kính tùy ý; đường tròn này cắt đường thẳng xy tại hai điểm M, N thỏa mãn HM = HN)
Hai đường xiên AM, AN lần lượt có hình chiếu là HM và HN, do đó từ (1) suy ra AM = AN
b) Xét trường hợp D ở giữa M và N
Advertisements (Quảng cáo)
– Nếu D ≡ H thì AD = AH, suy ra AD > AM (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)
– Nếu D ở giữa M và H thì HD < HM, do đó AD < AM (đường xiên có hình chiếu ngắn hơn thì ngắn hơn)
– Nếu D ở giữa H và N thì HD < HN, do đó AD < AN.
Theo a) ta có AM = AN nên AD < AM
Vậy khi D ở giữa M và N thì ta luôn có AD < AM
Câu 2.6: Cho điểm P nằm ngoài đường thẳng d.
a) Hãy nêu cách vẽ đường xiên PQ, PR sao cho PQ = PR và \(\widehat {QP{\rm{R}}} = 60^\circ \)
b) Trong hình dựng được ở câu a), cho PQ = 18cm. Tính độ dài hình chiếu của hai đường xiên PQ, PR trên d.
a) Phân tích bài toán
Giả sử PQ và PR là hai đường xiên kẻ từ P đến d sao cho PQ = PR và \(\widehat {QP{\rm{R}}} = 60^\circ \). Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ P đến d. Khi đó ∆PHQ = ∆PHQ (cạnh huyền, cạnh góc vuông), suy ra \(\widehat {HPQ} = \widehat {HP{\rm{R}}} = 30^\circ \). Từ đó suy ra cách vẽ hai đường xiên PQ và PR.
Kẻ \(PH \bot d\) (H ∈ d). Dùng thước đo góc để vẽ góc HPx bằng 30°. Tia Px cắt d tại điểm Q. Trên d lấy điểm R sao cho HR = HQ. Hai đường xiên PQ và PR lần lượt có hình chiếu trên d là HQ và HR. Do HQ = HR nên PQ = PR.
Hơn nữa \(\widehat {QP{\rm{R}}} = 2\widehat {HPQ} = 60^\circ \)
b) Hướng dẫn
– Tam giác PQR có PQ = PR và \(\widehat {QP{\rm{R}}} = 60^\circ \), tam giác đó là tam giác gì?
– PQ = 18cm => QR =? ; HQ = HR =?
