Câu 118: Chứng tỏ rằng:
a) Trong hai số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho hai.
b) Trong ba số tự nhiên liên tiếp, có một số chia hết cho ba.
a) Gọi hai số tự nhiên liên tiếp là a và a + 1
Nếu a chia hết cho 2 thì bài toán được chứng minh .
Nếu a không chia hết cho 2 thì a = 2k + 1 ( k ∈ N)
Suy ra : a + 1 = 2k + 1 + 1
Ta có : 2k ⋮ 2 ; 1 + 1 = 2 ⋮ 2
Suy ra ( 2k +1 +1 ) ⋮ 2 hay ( a+ 1) ⋮ 2
Vậy trong hai số tự nhiên liên tiếp , có một số chia hết cho 2
b) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a , a + 1 , a + 2
Nếu a chia hết cho 3 thì bài toán được chứng minh
Nếu a không chia hết cho 3 thì a = 3k + 1 hoặc a = 3k + 2 ( k ∈ N)
Nếu a = 3k + 1 thì a + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 ⋮ 3
Advertisements (Quảng cáo)
Nếu a = 3k + 2 thì a + 1 = 3k + 2 + 1 = 3k + 3 ⋮ 3
Vậy trong ba số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3.
Câu 119: Chứng tỏ rằng:
a) Tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3.
b) Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4.
a) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2
Ta có a + ( a + 1) + ( a + 2) = (a + a + a) + (1 + 2) = 3a+3
Vì 3 ⋮ 3 nên 3a ⋮ 3 suy ra (3a+3) ⋮ 3
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
Advertisements (Quảng cáo)
b) Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp là a, a + 1, a + 2, a + 4
Ta có có a + ( a + 1) + ( a + 2) + ( a + 3 )
= (a + a + a + a) + (1 + 2 + 3) = 4a + 6
Vì 4 ⋮ 4 nên 4a ⋮ 4 nhưng 6 \(\not \vdots \) 4, suy ra ( 4a + 6 ) \(\not \vdots \) 4
Vậy \(\left[ {a + \left( {a + 1} \right) + \left( {a + 2} \right) + \left( {a + 3} \right)} \right]\) \(\not \vdots\) 4
Câu 120: Chứng tỏ rằng số có dạng \(\overline {aaaaaa} \) bao giờ cũng chia hết cho 7 (chẳng hạn: 333333 ⋮ 7)
Ta có \(\overline {aaaaaa} \) = 111111.a = 3.7.11.13.37.a
Vì 3.7.11.13.37.a ⋮ 7 nên 111111.a ⋮ 7
Vậy số có dạng \(\overline {aaaaaa} \) bao giờ cũng chia hết cho 7
Câu 121: Chứng tỏ rằng số có dạng \(\overline {abcabc} \) bao giờ cũng chia hết cho 11 (chẳng hạn 328328 ⋮ 11)
Ta có \(\overline {abcabc} = 1001.\overline {abc} = 7.11.13.\overline {abc} \)
Vì \(7.11.13.\overline {abc} \) ⋮ 11 nên 1001. \(\overline {abc} \) ⋮ 11
Vậy số có dạng \(\overline {abcabc} \) bao giờ cũng chia hết cho 11
Câu 122: Chứng tỏ rằng lấy một số có hai chữ số , cộng với số gồm hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại, ta luôn luôn được một số chia hết cho 11 (chẳng hạn 37+37 = 110, chia hết cho 11)
Gọi số tự nhiên có hai chữ số là \(\overline {ab} \) (a ≠0)
Số viết theo thứ tự ngược lại của \(\overline {ab} \) là \(\overline {ba} \)
Số \(\overline {ab} \) viết dưới dạng tổng các hàng đơn vị là 10a+b
Số \(\overline {ba} \) viết dưới dạng tổng các hàng đơn vị là 10b+a
Ta có \(\overline {ab} \) + \(\overline {ba} \) = (10a+b)+(10b+a)=11a+11b=11.(a+b)
Vì 11.(a+b) ⋮ 11 nên \(\overline {ab} \) + \(\overline {ba} \) luôn chia hết cho 11
