Bài 2.27: Trong mặt phẳng \((\alpha )\) , cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng \((\alpha )\) đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M.
a) Chứng minh rằng khi quay mặt phẳng \((\alpha )\) xung quanh trục AB có một mặt nón tròn xoay và một mặt cầu được tạo thành. Hãy xác định các mặt tròn xoay đó.
b) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt tròn xoay đó là một đường tròn. Hãy xác định bán kính của đường tròn đó.
c) So sánh diện tích toàn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu nói trên.
a) Tam giác vuông ABC có BC = 2a và AC = a nên ta suy ra \(\widehat {ABC} = {30^0}\) . Khi quay xung quanh trục AB cạnh BC tạo nên mặt nón tròn xoay có góc ở đỉnh bằng 600 và có đường tròn đáy có bán kính AC = a. Khi xoay xung quanh trục AB nửa đường tròn đường kính AB tạo nên mặt cầu có tâm là trung điểm I để đoạn AB và bán kính \(r = {{AB} \over 2}\).
b) Khi quay xung quanh trục AB, giao điểm M của nửa đường tròn đường kính AB và cạnh CD sẽ tọ nên giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.
Vẽ \(MH \bot AB\)
Ta có: \({{MH} \over {MB}} = {{CA} \over {CB}} = {a \over {2a}} = {1 \over 2}\)
Mặt khác ta có CA2 = CM. CB nên ta có \(CM = {{{a^2}} \over {2a}} = {a \over 2}\)
Do đó \(BM = CB – CM = 2a – {a \over 2} = {3 \over 2}a\) và \(MH = {3 \over 4}a\)
c) Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón và S2 là diện tích mặt cầu.
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \({S_1} = \pi rl + \pi {r^2} = 2\pi {a^2} + \pi {a^2} = 3\pi {a^2}\)
\({S_2} = 4\pi {r^2} = 4\pi {(IA)^2} = 4\pi {({{a\sqrt 3 } \over 2})^2} = 3\pi {a^2}\)
Vậy S1 = S2
Bài 2.28: Cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc \(\Delta \) và A’ thuộc \(\Delta ‘\) . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với \(\Delta ‘\) và d là hình chiếu vuông góc của \(\Delta \) trên mặt phẳng (P). Đặt AA’ = a, góc nhọn giữa \(\Delta \) và d là \(\alpha \). Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) lần lượt tại M và M’. Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).
a) Chứng minh 5 điểm A, A’ , M, M’ , M1 cùng nằm trên mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, \(\alpha \) và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
b) Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với \(\Delta ‘\) nên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc \(\Delta \) mà d là hình chiếu vuông góc của \(\Delta \) trên (P) nên M1 thuộc d. Vì \(MA \bot {\rm{AA}}’ = > {M_1}A \bot AA’\)
Mặt khác \({M_1}A \bot M’A’\) nên ta suy ra \({M_1}A \bot ({\rm{AA}}’M’)\) . Do đó \({M_1}A \bot M’A\) và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’M1.
Ta có \(M’A’ \bot (P)\) nên \(M’A’ \bot A'{M_1}\), ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính M’M1
Ta có (Q) // (P) nên ta suy ra \(M{M_1} \bot (Q)\) mà MM’ thuộc (Q), do đó \({M_1}M \bot MM’\)
Như vậy 5 điểm A, A’ , M, M’, M1 cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’M1. Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’M1.
Ta có \(M'{M_1}^2 = M’A{‘^2} + A'{M_1}^2 = M’A{‘^2} + A'{A^2} + A{M_1}^2 = {x^2} + {a^2} + {x^2}{\cot ^2}\alpha \) vì MM1 = x và \(\cot \alpha = {{A{M_1}} \over {{M_1}M}} = {{A{M_1}} \over x}\)
Bán kính r của mặt cầu (S) bằng \({{M'{M_1}} \over 2}\) nên \(r = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {x^2}(1 + {{\cot }^2}\alpha )} \)
b) Hình tứ giác A’M’MM1 là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của A’M. Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d’ đi qua trung điểm I của đoạn AA’ và song song với đường thẳng \(\Delta \). Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, A’nên nó có tâm O di động trên đường thẳng d’. Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d’.
Bài 2.29: Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC.
a) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
b) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 300.
Hướng dẫn làm bài
a) Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Vì tam giác ABC vuông cân tại C nên ta có IA = IB = IC. Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC phải nằm trên đường thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Ta suy ra d’ // d. Do đó d’ cắt SB tại trung điểm O của đoạn SB. Ta có OB = OS = OA = OC và như vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện SABC.
b) Trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 300 thì góc của hai mặt phẳng đó chính là góc \(\widehat {SCA}\) . Thực vậy vì \(SA \bot (ABC)\) mà \(AC \bot CB\) nên ta có \(SC \bot CB\). Do đó \(\widehat {SCA} = {30^0}\) .
Vì AB = 2a nên ta có \(AC = a\sqrt 2 \) ta suy ra \(SA = AC.\tan {30^0} = a\sqrt 2 .{{\sqrt 3 } \over 3} = {{a\sqrt 6 } \over 3}\).
Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện khi \(\widehat {SCA} = {30^0}\) .
Ta có \(r = {{SB} \over 2} = OA = OB = OC = {\rm{OS}}\) , trong đó SB2 = SA2 + AB2
Vậy \(S{B^2} = {{6{a^2}} \over 9} + 4{a^2} = {{42{a^2}} \over 9}\). Do đó, \(SB = {{a\sqrt {42} } \over 3}\)
Ta suy ra \(r = {{SB} \over 2} = {{a\sqrt {42} } \over 6}\).
