Bài 2.13: Trong mặt phẳng \((\alpha )\) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với \((\alpha )\) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \((\beta )\) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng \((\beta )\) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’ , C’, D’.
a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B’, C’ , D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.
b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành.
a) Ta có \(\left\{ {\matrix{{BC \bot AB} \cr {BC \bot SA} \cr} } \right.\Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AB’\)
Ta lại có \(AB’ \bot SC\) nên suy ra \(AB’ \bot (SBC)\). Do đó \(AB’ \bot B’C\)
Chứng minh tương tự ta có \(AD’ \bot D’C\).
Vậy \(\widehat {ABC} = \widehat {AB’C} = \widehat {AC’C} = \widehat {AD’C} = \widehat {ADC} = {90^0}\)
Từ đó suy ra 7 điểm A, B, C, D, B’ , C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu đường kính là AC.
b) Gọi r là bán kính mặt cầu, ta có \(r = {{AC} \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(S = 4\pi {r^2} = 4\pi {({{a\sqrt 2 } \over 2})^2} = 2\pi {a^2}\) và \(V = {4 \over 3}\pi {r^3} = {4 \over 3}\pi {({{a\sqrt 2 } \over 2})^3} = {1 \over 3}\pi {a^3}\sqrt 2 \)
Bài 2.14: Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.
Giả sử ta có mặt cầu tâm I đi qua các đỉnh S, A, B, C của hình chóp. Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo giao tuyến là đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC. Vì SA = SB = SC nên ta có \(SO \bot (ABC)\) và OS là trục của đường tròn tâm O. Do đó \(SO \bot AO\) . Trong tam giác SAO, đường trung trực của đoạn SA cắt SO tại I và ta được hai tam giác vuông đồng dạng là SIM và SAO, với M là trung điểm của cạnh SA.
Ta có \({{SI} \over {SA}} = {{SM} \over {SO}} = {{SA} \over {2SO}}\) với SI = IA = IB = IC = r
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(r = SI = {{S{A^2}} \over {2SO}} = {{{a^2}} \over {2h}}\)
Do đó diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC đã cho là:
\(S = 4\pi {r^2} = 4\pi {({{{a^2}} \over {2h}})^2} = \pi {{{a^4}} \over {{h^2}}}\)
Bài 2.15: Cho hai đường thẳng chéo nhau \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) có AA’ là đoạn vuông góc chung, trong đó \(A \in \Delta \) và \(A’ \in \Delta ‘\). Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với \(\Delta ‘\) và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng \((\alpha )\) lần lượt cắt \(\Delta \) và \(\Delta ‘\) tại M và M’ . Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng \((\alpha )\) là M1 .
a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’, M1 . Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’ và góc\(\varphi = (\Delta ,\Delta ‘)\)
b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.
a) Theo giả thiết ta có: \(\widehat {A’M’M} = \widehat {A’AM} = \widehat {A'{M_1}M} = {90^0}\)
Do đó 5 điểm A, A’, M, M’ ,M1 cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính \(r = {{A’M} \over 2}\)
Mặt khác ta có A’M2 = A’A2 + AM2 , trong đó \(\cos \varphi = {{M{M_1}} \over {AM}}\) nên \(AM = {{M{M_1}} \over {\cos \varphi }} = {x \over {\cos \varphi }}\)
Do đó \(A'{M^2} = {a^2} + {{{x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }}\)
\(\Rightarrow A’M = \sqrt {{{{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }}} = {1 \over {\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \)
Mặt cầu tâm O có bán kính \(r = {{A’M} \over 2} = {1 \over {2\cos \varphi }}\sqrt {{a^2}{{\cos }^2}\varphi + {x^2}} \)
Diện tích của mặt cầu tâm O là: \(S = 4\pi {r^2} = \pi {(2r)^2} = \pi {(A’M)^2} = \pi ({a^2} + {{{x^2}} \over {{{\cos }^2}\varphi }})\)
b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO // \(\Delta \) nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với \(\Delta \) . Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’ , có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’. Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.
