Bài 2.1: Một hình nón tròn xoay có đỉnh là D, tâm của đường tròn đáy là O, đường sinh bằng l và có góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng \(\alpha \).
a) Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón được tạo nên.
b) Gọi I là một điểm trên đường cao DO của hình nón sao cho \({{DI} \over {DO}} = k(0 < k < l)\) . Tính diện tích thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón.
a) Gọi r là bán kính của đường tròn đáy.
Ta có \(OA{\rm{ }} = {\rm{ }}r{\rm{ }} = l.\cos \alpha \) (với O là tâm của đường tròn đáy và A là một điểm trên đường tròn đó).
Ta suy ra: \({S_{xq}} = \pi rl = \pi {l^2}\cos \alpha \)
Khối nón có chiều cao \(h = DO = l\sin \alpha \) . Do đó thể tích V của khối nón được tính theo công thức \(V = {1 \over 3}Bh = {1 \over 3}\pi {r^2}.h\)
Vậy : \(V = {1 \over 3}\pi {l^2}{\cos ^2}\alpha .l\sin \alpha = {1 \over 3}\pi {l^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \)
b) Thiết diện qua I và vuông góc với trục hình nón là một hình tròn bán kính r’ với \({{r’} \over r} = {{DI} \over {DO}} = k\)
Gọi s là diện tích của thiết diện và S là diện tích của đáy hình tròn ta có:
\({s \over S} = {k^2}\Leftrightarrow s = {k^2}S\), trong đó \(S = \pi {r^2} = \pi {l^2}{\cos ^2}\alpha \)
Vậy diện tích của thiết diện đi qua điểm I và vuông góc với trục hình nón là: \(s = {k^2}S = {k^2}\pi {l^2}{\cos ^2}\alpha \)
Bài 2.2: Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a.
a) Tính diện tích toàn phần và thể tích hình nón đó.
b) Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy một góc 600. Tính diện tích thiết diện được tạo nên.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân cạnh a nên hình nón có đường sinh l = a, có bán kính đáy \(r = {{a\sqrt 2 } \over 2}\) , và có chiều cao \(h = r = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)
Gọi Sxq là diện tích xung quanh của hình nón, ta có:
\({S_{xq}} = \pi rl = \pi {{a\sqrt 2 } \over 2}.a = {{\pi {a^2}\sqrt 2 } \over 2}\)
Gọi S là diện tích đáy của hình nón, ta có \(S = \pi {r^2} = \pi {{{a^2}} \over 2}\)
Vậy diện tích toàn phần của hình nón đã cho là:
\({S_{xq}} + S = {1 \over 2}\pi {a^2}\sqrt 2 + {1 \over 2}\pi {a^2} = {1 \over 2}\pi {a^2}(\sqrt 2 + 1)\)
Hình nón có thể tích là: \(V = {1 \over 3}Bh = {1 \over 3}\pi {({{a\sqrt 2 } \over 2})^2}.{{a\sqrt 2 } \over 2} = {1 \over {12}}\pi {a^3}\sqrt 2 \)
b) Xét mặt phẳng (DAM) đi qua đỉnh D tạo với mặt phẳng đáy một góc 600, cắt đường tròn đáy tại hai điểm A và M. Từ tâm O của đường tròn đáy ta vẽ \(OH \bot AM\) , do vậy H là trung điểm của đoạn AM. Ta có \(AM \bot (DOH)\) vì \(AM \bot OH\) và \(AM \bot DO\) .
Vậy \(\widehat {DHO} = {60^0}\) và \(\sin {60^0} = {{DO} \over {DH}}\) hay \(DH = {{DO} \over {\sin {{60}^0}}} = {{a\sqrt 2 } \over 2}:{{\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi \({S_{\Delta DAM}}\) là diện tích thiết diện cần tìm, ta có: \({S_{\Delta DAM}} = AH.DH\)
Mà \(A{H^2} = D{A^2} – D{H^2} = {a^2} – {{2{a^2}} \over 3} = {{{a^2}} \over 3}\Rightarrow AH = {a \over {\sqrt 3 }}\)
Vậy \({S_{\Delta DAM}} = AH.DH = {a \over {\sqrt 3 }}.{{a\sqrt 2 } \over {\sqrt 3 }} = {{{a^2}\sqrt 2 } \over 3}\)
Bài 2.3: Cho S.ABC là hình chóp tam giác đều có các cạnh bên bằng a và có góc giữa các mặt bên và mặt phẳng đáy là \(\alpha \). Hình nón đỉnh S có đường tròn đáy nội tiếp tam giác đều ABC gọi là hình nón nội tiếp hình nón đã cho. Hãy tính diện tích xung quanh của hình nón này theo a và \(\alpha \) .
Gọi I là trung điểm của cạnh BC và O là tâm của tam giác đều ABC. Theo giả thiết ta có SA = SB = SC = a và \(\widehat {SIO} = \alpha \). Đặt OI = r, SO = h, ta có AO = 2r và
\(\left\{ {\matrix{{h = r\tan \alpha } \cr {{a^2} = {h^2} + 4{r^2}} \cr} } \right.\) (vì SA2 = SO2 + AO2 )
Do đó \({a^2} = {r^2}{\tan ^2}\alpha + 4{r^2} = {r^2}({\tan ^2}\alpha + 4)\)
Vậy \(r = {a \over {\sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}\)
Hình nón nội tiếp có đường sinh là : \(l = SI = {r \over {\cos \alpha }} = {a \over {\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}\)
Diện tích xung quanh của hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC là:
\({S_{xq}} = \pi rl = \pi .{a \over {\sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }}.{a \over {\cos \alpha \sqrt {{{\tan }^2}\alpha + 4} }} = {{\pi {a^2}} \over {\cos \alpha ({{\tan }^2}\alpha + 4)}}\)
Bài 2.4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao SO = h và góc \(\widehat {SAB} = \alpha (\alpha > {45^0})\) . Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCD của hình chóp.
Gọi r là bán kính đáy của hình nón ta có OA = r, SO = h và SA = SB = SC = SD = l là đường sinh của hình nón.
Gọi I là trung điểm của đoạn AB, ta có:
\(\left\{ {\matrix{{S{A^2} = S{O^2} + O{A^2}} \cr {AI = SA.\cos \alpha } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{l^2} = {h^2} + {r^2}(1)} \cr {{{r\sqrt 2 } \over 2} = l\cos \alpha (2)} \cr} } \right.\)
\((2) \Rightarrow r = \sqrt 2 l\cos \alpha \)
\((1) \Rightarrow {l^2} = {h^2} + 2{l^2}{\cos ^2}\alpha\)
\(\Rightarrow {h^2} = {l^2}(1 – 2{\cos ^2}\alpha )\)
\(\Rightarrow {l^2} = {{{h^2}} \over {1 – 2{{\cos }^2}\alpha }}\)
\(\Rightarrow l = {h \over {\sqrt {1 – 2{{\cos }^2}\alpha } }}\)
Do đó \(r = \sqrt 2 l\cos \alpha = {{\sqrt 2 h\cos \alpha } \over {\sqrt {1 – 2{{\cos }^2}\alpha } }}\)
\({S_{xq}} = \pi rl = \pi .{{\sqrt 2 h\cos \alpha } \over {\sqrt {1 – 2{{\cos }^2}\alpha } }}.{h \over {\sqrt {1 – 2{{\cos }^2}\alpha } }} = {{\pi \sqrt 2 {h^2}\cos \alpha } \over {1 – 2{{\cos }^2}\alpha }}\)
