Bài 3.1: Kiểm tra xem nguyên hàm nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:
a) \(f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) và \(g(x) = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
b) \(f(x) = {e^{\sin x}}\cos x\) và \(g(x) = {e^{\sin x}}\)
c)\(f(x) = {\sin ^2}{1 \over x}\) và \(g(x) = – {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}\)
d) \(f(x) = {{x – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 2x + 2} }}\) và \(g(x) = \sqrt {{x^2} – 2x + 2} \)
e) \(f(x) = {x^2}{e^{{1 \over x}}}\) và \(g(x) = (2x – 1){e^{{1 \over x}}}\)
a) Hàm số \(f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) là một nguyên hàm của \(g(x) = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}\)
b) Hàm số \(g(x) = {e^{\sin x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{\sin x}}\cos x\)
c) Hàm số \(f(x) = {\sin ^2}{1 \over x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = – {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}\)
d) Hàm số \(g(x) = \sqrt {{x^2} – 2x + 2} \) là một nguyên hàm của hàm số (f(x) = {{x – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 2x + 2} }}\)
e) Hàm số \(f(x) = {x^2}{e^{{1 \over x}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = (2x – 1){e^{{1 \over x}}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Câu 3.2: Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:
a) \(F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x – 3}}\) và \(G(x) = {{{x^2} + 10} \over {2x – 3}}\)
b) \(F(x) = {1 \over {{{\sin }^2}x}}\) và \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x\)
c) \(F(x) = 5 + 2{\sin ^2}x\) và \(G(x) = 1 – \cos 2x\)
a) Vì \(F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x – 3}} = {{{x^2} + 10} \over {2x – 3}} + 3 = G(x) + 3\) nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của \(f(x) = {{2{x^2} – 6x – 20} \over {{{(2x – 3)}^2}}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Vì \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x = {1 \over {{{\sin }^2}x}} + 9 = F(x) + 9\) , nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của \(f(x) = – {{2\cos x} \over {{{\sin }^3}x}}\)
c) Vì \(F'(x) = (5 + 2{\sin ^2}x)’ = 2\sin 2x\) và \(G'(x) = (1 – \cos 2x)’ = 2\sin 2x\) , nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của cùng hàm số f(x) = 2sin2x
Bài 3.3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x) = {(x – 9)^4}\)
b) \(f(x) = {1 \over {{{(2 – x)}^2}}}\)
c) \(f(x) = {x \over {\sqrt {1 – {x^2}} }}\)
d) \(f(x) = {1 \over {\sqrt {2x + 1} }}\)
e) \(f(x) = {{1 – \cos 2x} \over {{{\cos }^2}x}}\)
g) \(f(x) = {{2x + 1} \over {{x^2} + x + 1}}\)
a) \(F(x) = {{{{(x – 9)}^5}} \over 5} + C\)
b) \(F(x) = {1 \over {2 – x}} + C\)
c) \(F(x) = – \sqrt {1 – {x^2}} + C\)
d) \(F(x) = \sqrt {2x + 1} + C\)
e) \(F(x) = 2(\tan x – x) + C\) .
HD: Vì \(f(x) = 2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = 2({1 \over {{{\cos }^2}x}} – 1)\)
g) \(F(x) = \ln ({x^2} + x + 1) + C\). HD: Đặt u = x2 + x + 1 , ta có u’ = 2x + 1
