Bài 3.14: Chứng minh rằng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx = 0} \).
Với \(x \in {\rm{[}}0;1]\) , ta có \(0 \le {x^n}\sin \pi x \le {x^n}\) . Do đó:
\(0 \le \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx} \le \int\limits_0^1 {{x^n}dx = {1 \over {n + 1}}} \)
Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh.
Bài 3.15: Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi \(f(x) = \int\limits_0^x {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt,x \in R\) là hàm số chẵn.
Advertisements (Quảng cáo)
Đặt t = – s trong tích phân: \(f( – x) = \int\limits_0^{ – x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt\) , ta được:\(f( – x) = \int\limits_0^{ – x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt = \int\limits_0^x {{s \over {\sqrt {1 + {s^4}} }}} ds = f(x)\)
Bài 3.16: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:
\(\int\limits_{ – a}^a {f(x)dx = } \left\{ {\matrix{{2\int\limits_0^a {f(x)dx,(1)} } \cr {0,(2)} \cr} } \right.\)
(1) : nếu f là hàm số chẵn
Advertisements (Quảng cáo)
(2): nếu f là hàm số lẻ.
Áp dụng để tính: \(\int\limits_{ – 2}^2 {\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} } )dx\)
Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:
\(\int\limits_{ – a}^a {f(x)dx = \int\limits_{ – a}^0 {f(x)dx + \int\limits_0^a {f(x)dx} } } \)
Đổi biến x = – t đối với tích phân \(\int\limits_{ – a}^0 {f(x)dx} \) , ta được:
\(\int\limits_{ – a}^0 {f(x)dx = – \int\limits_a^0 {f( – t)dt = \int\limits_0^a {f(t)dt = \int\limits_0^a {f(x)dx} } } } \)
Vậy \(\int\limits_{ – a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} } \)
Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:
Vì \(g(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên \(\int\limits_{ – 2}^2 {g(x)dx = 0}\)
