Bài 2.39: Giải các bất phương trình mũ sau:
a) \({3^{|x – 2|}} < 9\)
b) \({4^{|x + 1|}} > 16\)
c) \({2^{ – {x^2} + 3x}} < 4\)
d) \({(\frac{7}{9})^{2{x^2} – 3x}} \ge \frac{9}{7}\)
e) \({11^{\sqrt {x + 6} }} \ge {11^x}\)
g) \({2^{2x – 1}} + {2^{2x – 2}} + {2^{2x – 3}} \ge 448\)
h)\({16^x} – {4^x} – 6 \le 0\)
i) \(\frac{{{3^x}}}{{{3^x} – 2}} < 3\)
a) \({3^{|x – 2|}} < {3^2}\)
\( \Leftrightarrow |x – 2| < 2\)
\( \Leftrightarrow – 2 < x – 2 < 2\)
\( \Leftrightarrow 0 < x < 4\)
b) \({4^{|x + 1|}} > {4^2}\)
\( \Leftrightarrow |x + 1| > 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 1 > 2}\\
{x + 1 < – 2}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > 1}\\
{x < – 3}
\end{array}} \right.\)
c) \({2^{ – {x^2} + 3x}} < {2^2}\)
\( \Leftrightarrow – {x^2} + 3x < 2 \)
\( \Leftrightarrow {x^2} – 3x + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x < 1}\\
{x > 2}
\end{array}} \right.\)
d) \({(\frac{7}{9})^{2{x^2} – 3x}} \ge {(\frac{7}{9})^{ – 1}}\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} – 3x \le – 1\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} – 3x + 1 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 1\)
e) \(\eqalign{& \sqrt {x + 6} \ge x \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{x + 6 \ge 0} \cr {x < 0} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{x \ge 0} \cr {x + 6 \ge {x^2}} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{x \ge – 6} \cr {x < 0} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{x \ge 0} \cr {{x^2} – x – 6 \le 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ – 6 \le x < 0} \cr {\left\{ {\matrix{{ – 2 \le x \le 3} \cr {x \ge 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ – 6 \le x < 0} \cr {0 \le x \le 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow – 6 \le x \le 3 \cr}\)
g) \(\frac{1}{2}{.2^{2x}} + \frac{1}{4}{.2^{2x}} + \frac{1}{8}{.2^{2x}} \ge 448\)
\( \Leftrightarrow {2^{2x}} \ge 512 \Leftrightarrow {2^{2x}} \ge {2^9} \Leftrightarrow x \ge \frac{9}{2}\)
h) Đặt t = 4x (t > 0), ta có hệ bất phương trình:
\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{t^2} – t – 6 \le 0} \cr {t > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ – 2 \le t \le 3} \cr {t > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow 0 < t \le 3 \Leftrightarrow 0 < {4^x} \le 3 \Leftrightarrow x \le {\log _4}3 \cr} \)
i) \(\eqalign{& {{{3^x}} \over {{3^x} – 2}} – 3 < 0 \Leftrightarrow {{ – {{2.3}^x} + 6} \over {{3^x} – 2}} < 0 \cr & \Leftrightarrow {{{3^x} – 3} \over {{3^x} – 2}} > 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{3^x} > 3} \cr {{3^x} < 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > 1} \cr {x < {{\log }_3}2} \cr} } \right. \cr} \)
Bài 2.40: Giải các bất phương trình logarit sau:
a) \({\log _{\frac{1}{3}}}(x – 1) \ge – 2\)
b) \({\log _3}(x – 3) + {\log _3}(x – 5) < 1\)
c) \({\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2{x^2} + 3}}{{x – 7}} < 0\)
d) \({\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > 0\)
e) \(\frac{1}{{5 – \log x}} + \frac{2}{{1 + \log x}} < 1\)
Advertisements (Quảng cáo)
g) \(4{\log _4}x – 33{\log _x}4 \le 1\)
a) \(0 < x – 1 \le {(\frac{1}{3})^{ – 2}} \Leftrightarrow 1 < x \le 10\)
b) \(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x > 5} \cr {{{\log }_3}{\rm{[}}(x – 3)(x – 5){\rm{]}} < {{\log }_3}3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 5} \cr {{x^2} – 8x + 12 < 0} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 5} \cr {2 < x < 6} \cr} } \right.} \right. \cr & \Leftrightarrow 5 < x < 6 \cr} \)
c) \(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x – 7 > 0} \cr {{{2{x^2} + 3} \over {x – 7}} > 1} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 7} \cr {2{x^2} + 3 > x – 7} \cr} } \right.} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 7} \cr {2{x^2} – x + 10 > 0} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 7} \cr {x \in R} \cr} \Leftrightarrow x > 7} \right.} \right. \cr} \)
d) \(\eqalign{
& {\log _{{1 \over 3}}}{\log _2}{x^2} > {\log _{{1 \over 3}}}1 \cr
& \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < 1 \cr
& \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < {\log _2}2 \cr
& \Leftrightarrow 0 < {x^2} < 2 \cr} \)
\(\Leftrightarrow 0 < |x| < \sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ – \sqrt 2 < x < 0} \cr {0 < x < \sqrt 2 } \cr} } \right.\)
e) Đặt \(t = \log x\) với điều kiện \(t \ne 5,t \ne – 1\) ta có:
\(\eqalign{
& {1 \over {5 – t}} + {2 \over {1 + t}} < 1 \Leftrightarrow {{t + 1 + 10 – 2t} \over {5 + 4t – {t^2}}} – 1 < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{t^2} – 5t + 6} \over {{t^2} – 4t – 5}} > 0 \Leftrightarrow {{(t – 2)(t – 3)} \over {(t + 1)(t – 5)}} > 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t < – 1} \cr {2 < t < 3} \cr {t > 5} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra log x < -1 hoặc 2 < log x < 3 hoặc log x > 5.
Vậy \(x < \frac{1}{{10}}\) hoặc 100 < x < 1000 hoặc x > 100 000.
g) Với điều kiện \(x > 0,x \ne 1\) đặt \(t = {\log _4}x\) , ta có: \(4t – \frac{{33}}{t} \le 1\)
\(\eqalign{& \Leftrightarrow {{4{t^2} – t – 33} \over t} \le 0 \Leftrightarrow {{(4t + 11)(t – 3)} \over t} \le 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t \le – {{11} \over 4}} \cr {0 < t \le 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{\log }_4}x \le – {{11} \over 4}} \cr {0 < {{\log }_4}x \le 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{0 < x \le {4^{ – {{11} \over 4}}}} \cr {1 < x \le 64} \cr} } \right. \cr} \)
Bài 2.41: Giải các bất phương trình sau bằng đồ thị:
a) \({(\frac{1}{2})^x} < x – \frac{1}{2}\)
b) \({(\frac{1}{3})^x} \ge x + 1\)
c) \({\log _{\frac{1}{3}}}x > 3x\)
d) \({\log _2}x \le 6 – x\)
a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {(\frac{1}{2})^x}\) và đường thẳng \(y = x – \frac{1}{2}\) trên cùng một hệ trục tọa độ (H.65), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 1. Với x > 1 đồ thị của hàm số \(y = {(\frac{1}{2})^x}\) nằm phía dưới đường thẳng \(y = x – \frac{1}{2}\) . Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \((1; + \infty )\)
b) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {(\frac{1}{3})^x}\) và đường thẳng y = x + 1 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.66), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0.
Khi x < 0 đồ thị của hàm số \(y = {(\frac{1}{3})^x}\) nằm phía trên đường thẳng y = x + 1. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(( – \infty ;0]\)
c) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\) và đường thẳng y = 3x trên cùng một hệ trục tọa độ ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ \(x = \frac{1}{3}\) (H.67)
Khi \(x < \frac{1}{3}\) đồ thị của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\) nằm phía trên đường thẳng y = 3x.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(( – \infty ;\frac{1}{3})\) .
d) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\log _2}x\) và đường thẳng y = 6 – x trên cùng một hệ trục tọa độ, ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 4 (H.68).
Khi x < 4, đồ thị của hàm số \(y = {\log _2}x\) nằm phía dưới y = 6 – x .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(( – \infty ;4]\).
Bài 2.42: Giải bất phương trình : \({\log _{\frac{1}{3}}}({\log _2}\frac{{2x + 3}}{{x + 1}}) \ge 0\)
Đáp số : x < – 2.
