Bài 3.17: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng: \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\sin x)dx = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\cos x)dx} } \)
Đổi biến số: \(x = {\pi \over 2} – t\) , ta được: \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\sin x)dx = – \int\limits_{{\pi \over 2}}^0 {f(\sin ({\pi \over 2} – t))dt = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\cos t)dt} } } \)
Hay \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\sin x)dx = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {f(\cos x)dx} } \)
Bài 3.18: Đặt \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^n}xdx} ,n \in {N^*}\)
a) Chứng minh rằng \({I_n} = {{n – 1} \over n}{I_{n – 2}},n > 2\)
b) Tính I3 và I5.
a) Xét với n > 2, ta có: \({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n – 1}}x.\sin xdx} \)
Dùng tích phân từng phần với và , ta có:
\({I_n} = \int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n – 1}}x\sin xdx}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\({= – } \cos x{\sin ^{n – 1}}x\left| {\matrix{{{\pi \over 2}} \cr 0 \cr} } \right. + (n – 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\sin }^{n – 2}}x{{\cos }^2}xdx} \)
\( = (n – 1)\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {({{\sin }^{n – 2}}x – {{\sin }^n}x)dx} \)
\(= (n – 1){I_{n – 2}} – (n – 1){I_n}\)
Vậy \({I_n} = {{n – 1} \over n}{I_{n – 2}}\)
b) \({I_3} = {2 \over 3},{I_5} = {8 \over {15}}\)
Bài 3.19: Đặt \({I_{m,n}} = \int\limits_0^1 {{x^m}{{(1 – x)}^n}} dx,m,n \in {N^*}\). Chứng minh rằng:\({I_{m,n}} = {n \over {m + 1}}{I_{m + 1,n – 1}},m > 0,n > 1\)
Từ đó tính I1,2 và I1,3 .
Advertisements (Quảng cáo)
Dùng tích phân từng phần với \(u = {(1 – x)^n},dv = {x^m}dx\) , ta được:
\({I_{m,n}} = {{{x^{m + 1}}} \over {m + 1}}{(1 – x)^n}\left| {\matrix{1 \cr 0 \cr} } \right. + {n \over {m + 1}}\int\limits_0^1 {{x^{m + 1}}{{(1 – x)}^{n – 1}}dx} \)
Vậy \({I_{m,n}} = {n \over {m + 1}}\int\limits_0^1 {{x^{m + 1}}} {(1 – x)^{n – 1}}dx \)
\(= {n \over {m + 1}}{I_{m + 1,n – 1}},n > 1,m > 0\) .
\({I_{1,2}} = {1 \over {12}}\) và \({I_{1,3}} = {1 \over {20}}\)
Bài 3.20: Hãy chỉ ra kết quả nào dưới đây đúng:
a) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {\sin xdx + } \int\limits_{{\pi \over 2}}^{{{3\pi } \over 2}} {\sin xdx + } \int\limits_{{{3\pi } \over 2}}^{2\pi } {\sin xdx = 0} \)
b) \(\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {(\root 3 \of {\sin x} – \root 3 \of {\cos x} } )dx = 0\)
c) \(\int\limits_{ – {1 \over 2}}^{{1 \over 2}} {\ln {{1 – x} \over {1 + x}}} dx = 0\)
d) \(\int\limits_0^2 {({1 \over {1 + x + {x^2} + {x^3}}} + 1)dx = 0} \)
a) Đúng (vì vế trái bằng \(\int\limits_0^{2\pi } {\sin xdx = 0} \) )
b) Đúng (theo bài 3.17)
c) Đúng (theo bài 3.16)
d) Sai: Vì \(1 + {1 \over {1 + x + {x^2} + {x^3}}} > 1,x \in {\rm{[}}0;2]\)
