Bài 3.4, 3.5, 3.6 trang 171, 172 SBT Giải tích 12:  Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính các nguyên hàm sau ?

Bài 3.4: Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:

a) \(\int {{x^2}\root 3 \of {1 + {x^3}} } dx\)  với x > – 1 (đặt t = 1 + x³)

b) \(\int {x{e^{ – {x^2}}}} dx\)  (đặt t = x²)

c) \(\int {{x \over {{{(1 + {x^2})}^2}}}} dx\)   (đặt t = 1 + x²)

d) \(\int {{1 \over {(1 – x)\sqrt x }}} dx\)  (đặt \(t = \sqrt x \) )

e)  \(\int {\sin {1 \over x}.{1 \over {{x^2}}}} dx\) (Đặt \(t = {1 \over x}\) )

g) \(\int {{{{{(\ln x)}^2}} \over x}} dx\)  (đặt \(t = \ln x\))

 h)  \(\int {{{\sin x} \over {\root 3 \of {{{\cos }^2}x} }}} dx\)  (đặt t = cos x)

i)  \(\int {\cos x} {\sin ^3}xdx\) (đặt t = sin x)

k) \(\int {{1 \over {{e^x} – {e^{ – x}}}}} dx\)  (đặt \(t = {e^x}\))

l)  \(\int {{{\cos x + \sin x} \over {\sqrt {\sin x – \cos x} }}} dx\)  (đặt \(t = \sin x – \cos x\) )

a) \({1 \over 4}{(1 + {x^3})^{{4 \over 3}}} + C\)

b\(- {1 \over 2}{e^{ – {x^2}}} + C\)

c) \( – {1 \over {2(1 + {x^2})}} + C\)                                      d) \(\ln |{{1 + \sqrt x } \over {1 – \sqrt x }}| + C\)

e) \(\cos {1 \over x} + C\)

g) \({1 \over 3}{(\ln x)^3} + C\)

h) \( – 3\root 3 \of {\cos x}  + C\)

i) \({1 \over 4}{\sin ^4}x + C\)

k) \({1 \over 2}\ln |{{{e^x} – 1} \over {{e^x} + 1}}| + C\)

l) \(2\sqrt {\sin x – \cos x}  + C\)

 Bài 3.5: Áp dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) \(\int {(1 – 2x){e^x}} dx\)

b) \(\int {x{e^{ – x}}dx} \)

c) \(\int {x\ln (1 – x)dx} \)

d) \(\int {x{{\sin }^2}xdx} \)

e) \(\int {\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} } )dx\)

g) \(\int {\sqrt x {{\ln }^2}xdx} \)

h) \(\int {x\ln {{1 + x} \over {1 – x}}dx} \)

a) \((3 – 2x){e^x} + C\)

b) \( – (1 + x){e^{ – x}} + C\)

c) \({{{x^2}} \over 2}\ln (1 – x) – {1 \over 2}\ln (1 – x) – {1 \over 4}{(1 + x)^2} + C\).

d)  \({{{x^2}} \over 4} – {x \over 4}\sin 2x – {1 \over 8}\cos 2x + C\)

HD: Đặt  u = x, dv = sin²xdx

e) \(x\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} ) – \sqrt {1 + {x^2}}  + C\)   .

HD: Đặt \(u = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\)   và dv = dx

g) \({2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}({(\ln x)^2} – {4 \over 3}\ln x + {8 \over 9}) + C\)

HD: Đặt  \(u = {\ln ^2}x;dv = \sqrt x dx\)

h) \(x – {{1 – {x^2}} \over 2}\ln {{1 + x} \over {1 – x}} + C\)

HD: \(u = \ln {{1 + x} \over {1 – x}},dv = xdx\)

Bài 3.6: Tính các nguyên hàm sau:

a) \(\int {x{{(3 – x)}^5}dx} \)

b) \(\int {{{({2^x} – {3^x})}^2}} dx\)

c)  \(\int {x\sqrt {2 – 5x} dx} \)

d) \(\int {{{\ln (\cos x)} \over {{{\cos }^2}x}}} dx\)

e) \(\int {{x \over {{{\sin }^2}x}}} dx\)

g) \(\int {{{x + 1} \over {(x – 2)(x + 3)}}dx} \)

h)  \(\int {{1 \over {1 – \sqrt x }}} dx\)

i) \(\int {\sin 3x\cos 2xdx} \)

k) \(\int {{{{{\sin }^3}x} \over {{{\cos }^2}x}}} dx\)

l)  \(\int {{{\sin x\cos x} \over {\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} }}} dx,({a^2} \ne {b^2})\)

HD: Đặt \(u = \sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x} \)

a) \({(3 – x)^6}({{3 – x} \over 7} – {1 \over 2}) + C\) .

HD: t = 3 – x

b) \({{{4^x}} \over {\ln 4}} – 2{{{6^x}} \over {\ln 6}} + {{{9^x}} \over {\ln 9}} + C\)

c) \( – {{8 + 30x} \over {375}}{(2 – 5x)^{{3 \over 2}}} + C\).

HD: Dựa vào \(x =  – {1 \over 5}(2 – 5x) + {2 \over 5}\)

d) \(\tan x{\rm{[}}\ln (\cos x) + 1] – x + C\) .  HD: Đặt  \(u = \ln (\cos x),dv = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}}\)

e) \( – x\cot x + \ln |\sin x| + C\)  .   HD: Đặt \(u = x,dv = {{dx} \over {{{\sin }^2}x}}\)

g) \({1 \over 5}\ln [|x – 2{|^3}{(x + 3)^2}{\rm{]}} + C\)

HD:  Ta có \({{x + 1} \over {(x – 2)(x + 3)}} = {3 \over {5(x – 2)}} + {2 \over {5(x + 3)}}\)

h)  \( – 2(\sqrt x  + \ln |1 – \sqrt x |) + C\).

HD: Đặt \(t = \sqrt x \)

i) \( – {1 \over 2}(\cos x + {1 \over 5}cos5x) + C\)  .

HD: \(\sin 3x.c\cos 2x = {1 \over 2}(\sin x + \sin 5x)\)

k) \(\cos x + {1 \over {\cos x}} + C\) .

HD: Đặt u = cos x

l) \({1 \over {{a^2} – {b^2}}}\sqrt {{a^2}{{\sin }^2}x + {b^2}{{\cos }^2}x}  + C\)