Bài 3.21: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = 2x – x2 , x + y = 2 ;
b) y = x3 – 12x , y = x2
c) x + y = 1 ; x + y = -1 ; x – y = 1 ; x – y = -1 ;
d) \(y = {1 \over {1 + {x^2}}},y = {1 \over 2}\)
e) y = x3 – 1 và tiếp tuyến với y = x3 – 1 tại điểm (-1; -2).
a) \({1 \over 6}\)
b) \(78{1 \over {12}}\) .HD: \(S = \int\limits_{ – 3}^0 {({x^3} – 12x – {x^2})dx + } \int\limits_0^4 {({x^2} – {x^3} + 12x)dx} \)
c) 2 ; HD: \(S = 4\int\limits_0^1 {(1 – x)dx} \)
d) \({\pi \over 2} – 1\)
HD: \(S = 2\int\limits_0^1 {({1 \over {1 + {x^2}}} – {1 \over 2})dx = 2\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}dx} – 1} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Đặt \(x = \tan t\) để tính \(\int\limits_0^1 {{1 \over {1 + {x^2}}}} dx\)
e) \({{27} \over 4}\) .HD: Phương trình tiếp tuyến tại (-1; -2) là y = 3x + 1. Do đó, diện tích :\(S = \int\limits_{ – 1}^2 {(3x + 1 – {x^3} + 1)dx = \int\limits_{ – 1}^2 {(3x + 2 – {x^3})dx} } \)
Bài 3.22: Tính thể tích vật thể:
a) Có đáy là một tam giác cho bởi: y = x , y = 0 , và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.
b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi x2 + y2 = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.
Advertisements (Quảng cáo)
a) \({1 \over 3}\) .
HD: Hình chóp (H.82). Thiết diện tại \(x \in {\rm{[}}0;1]\) là hình vuông cạnh bằng x , S(x) = x2 .
Vậy \(V = \int\limits_0^1 {S(x)dx = \int\limits_0^1 {{x^2}dx = {1 \over 3}} } \)
b) \({{16} \over 3}\) .
HD: (H.83) Thiết diện tại \(x \in {\rm{[}} – 1;1]\) là hình vuông cạnh AB, trong đó A(x; y) với \(y = \sqrt {1 – {x^2}} \) . Khi đó, \(AB = 2\sqrt {1 – {x^2}} \). Diện tích thiết diện là: \(S(x) = 4(1 – {x^2})\) .
Vậy \(V = 4\int\limits_{ – 1}^1 {(1 – {x^2})dx = 8\int\limits_0^1 {(1 – {x^2})dx = {{16} \over 3}} } \)
Bài 3.23: Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:
a) y = 2 – x2 , y = 1 , quanh trục Ox.
b) y = 2x – x2 , y = x , quanh trục Ox.
c) \(y = {(2x + 1)^{{1 \over 3}}},x = 0,y = 3\), quanh trục Oy.
d) y = x2 + 1 , x = 0 và tiếp tuyến với y = x2 + 1 tại điểm (1; 2), quanh trục Ox.
e) y = ln x , y = 0 , x = e , quanh trục Oy.
a) \({{56} \over {15}}\pi \)
b) \({\pi \over 5}\)
c) \({{480} \over 7}\pi \) . HD: Xem hình
d) \({8 \over {15}}\pi \)
e) \({{{e^2} + 1} \over 2}\pi \)
