Bài 2.43: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) \(y = {x^{\sqrt 3 }}\)
b) \(y = {x^{\frac{1}{\pi }}}\)
c) \(y = {x^{ – e}}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^{\sqrt 3 }}\)
Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)
\(y’ = \sqrt 3 {x^{\sqrt 3 – 1}}\)
\(y’ > 0,\forall x \in D\) nên hàm số luôn đồng biến.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \)
Đồ thị không có tiệm cận
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^{\frac{1}{\pi }}}\)
Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)
\(y’ = \frac{1}{\pi }{x^{\frac{1}{\pi } – 1}}\)
\(y’ > 0,\forall x \in D\) nên hàm số luôn đồng biến.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \)
Đồ thị không có tiệm cận.
Bảng biến thiên:
Advertisements (Quảng cáo)
Đồ thị
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^{ – e}}\)
Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)
\(y’ = – e{x^{ – e – 1}}\)
\(y’ < 0,\forall x \in D\) nên hàm số luôn nghịch biến
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 0\)
Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành, tiệm cận đứng là trục tung.
Bảng biến thiên:
Đồ thị:
Bài 2.44: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = \frac{2}{{\sqrt {{4^x} – 2} }}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) \(y = {\log _6}\frac{{3x + 2}}{{1 – x}}\)
c) \(y = \sqrt {\log x + \log (x + 2)} $\)
d) \(y = \sqrt {\log (x – 1) + \log (x + 1)} \)
a) Hàm số xác định khi:
\({4^x} – 2 > 0\Leftrightarrow {2^{2x}} > 2\Leftrightarrow x > \frac{1}{2}\)
Vậy tập xác định là \(D = (\frac{1}{2}; + \infty )\)
b) \(D = ( – \frac{2}{3};1)\)
c) \(\eqalign{& \log x + \log (x + 2) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\log [x(x + 2){\rm{]}} \ge \log 1} \cr {x > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} + 2x – 1 \ge 0} \cr {x > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x \le – 1 – \sqrt 2 } \cr {x \ge – 1 + \sqrt 2 } \cr} } \right.} \cr {x > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x \ge – 1 + \sqrt 2 \cr}\)
Vậy tập xác định là \(D = {\rm{[}} – 1 + \sqrt 2 ; + \infty )\)
d) Tương tự câu c, \(D = {\rm{[}}\sqrt 2 ; + \infty )\).
Bài 2.45: Cho hai hàm số:
\(f(x) = \frac{{{a^x} + {a^{ – x}}}}{2},g(x) = \frac{{{a^x} – {a^{ – x}}}}{2}\)
a) Chứng minh rằng f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.
b) Tìm giá trị bé nhất của f(x) trên tập xác định.
a) Ta có tập xác định của cả hai hàm số f(x), g(x) đều là R. Mặt khác:
\(f( – x) = \frac{{{a^{ – x}} + {a^x}}}{2} = f(x),g( – x) = \frac{{{a^{ – x}} – {a^x}}}{2} = – g(x)\)
Vậy f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.
b) Ta có: \(f(x) = \frac{{{a^x} + {a^{ – x}}}}{2} \ge \sqrt {{a^x}{a^{ – x}}} = 1,\forall x \in R\) và \(f(0) = \frac{{{a^0} + {a^0}}}{2} = 1\)
Vậy min f(x) = f(0) = 1.
Bài 2.46: Cho a + b = c với a > 0, b > 0.
a) Chứng minh rằng \({a^m} + {b^m} < {c^m}\) , nếu m > 1.
b) Chứng minh rằng \({a^m} + {b^m} < {c^m}\) , nếu 0 < m < 1
a) Ta có: \({a^m} + {b^m} < {c^m} \Leftrightarrow {(\frac{a}{c})^m} + {(\frac{b}{c})^m} < 1\) (1)
Theo đề bài a + b = c, a > 0, b > 0 nên \(0 < \frac{a}{c} < 1,0 < \frac{b}{c} < 1\) .
Suy ra với m > 1 thì \({(\frac{a}{c})^m} < {(\frac{a}{c})^1};{(\frac{b}{c})^m} < {(\frac{b}{c})^1}\)
Từ đó ta có: \({(\frac{a}{c})^m} + {(\frac{b}{c})^m} < \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1\)
Vậy (1) đúng và ta có điều phải chứng minh.
b) Chứng minh tương tự.
