Bài 2.22: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^{|x|}}\) trên đoạn [-1; 1].
Trên đoạn [-1; 1], ta có :
\(\begin{array}{l}
y = {\log _{\sqrt 5 }}x\\
y = {2^{|x|}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^x},khix \in {\rm{[}}0;1]}\\
{{2^{ – x}},khix \in {\rm{[}} – 1;0]}
\end{array}} \right.
\end{array}\)
Do đó, trên đoạn [0; 1] hàm số đồng biến, trên đoạn [-1; 0] hàm số nghịch biến. Suy ra các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được tại các đầu mút.
Ta có: \(y( – 1) = {2^{ – ( – 1)}} = {2^1} = 2,y(0) = {2^0} = 1,y(1) = {2^1} = 2\)
Vậy \(\mathop {M{\rm{ax}}}\limits_{{\rm{[}} – 1;1]} y = y(1) = y( – 1) = 2,\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} – 1;1]} y = y(0) = 1\).
Bài 2.23: Cho biết chu kỳ bán rã của một chất phóng xạ là 24 giờ (1 ngày đêm). Hỏi 250 gam chất đó sẽ còn lại bao nhiêu gam sau:
a) 1,5 ngày đêm?
B) 3,5 ngày đêm
Ta biết công thức tính khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t là:
\(m(t) = {m_0}{(\frac{1}{2})^{\frac{t}{T}}}\)
Trong đó, m0 là khối lượng chất phóng xạ ban đầu. (tức là tại thời điểm t = 0).
T là chu kỳ bán rã.
Ta có: T = 24 giờ = 1 ngày đêm, m0 = 250 gam.
Do đó:
a) Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 1,5 ngày đêm là:
\(m(1,5) = 250{(\frac{1}{2})^{\frac{{1,5}}{1}}} \approx 88,388(g)\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Khối lượng chất phóng xạ còn lại sau 3,5 ngày đêm là:
\(m(3,5) = 250{(\frac{1}{2})^{\frac{{3,5}}{1}}} \approx 22,097(g)\).
Bài 2.24: Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là 4% mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?
Gọi trữ lượng gỗ ban đầu là V0, tốc độ sinh trưởng hằng năm của rừng là i phần trăm. Ta có:
– Sau 1 năm, trữ lượng gỗ là:
V1 = V0 + iV0 = V0(1 + i)
– Sau 2 năm, trữ lượng gỗ là:
V2 = V1 + iV1 = V1(1 + i) = V0(1 + i)2
………………
– Sau 5 năm, trữ lượng gỗ là
V5 = V0(1 + i)5
Advertisements (Quảng cáo)
Thay V0 = 4.105 (m3), i = 4% = 0,04, ta được
V5 = 4.105 (1 + 0,04)5 = 4,8666.105 (m3).
Bài 2.25: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = {\log _8}({x^2} – 3x – 4)\)
b) \(y = {\log _{\sqrt 3 }}( – {x^2} + 5x + 6)\)
c) \(y = {\log _{0,7}}\frac{{{x^2} – 9}}{{x + 5}}\)
d) \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x – 4}}{{x + 4}}\)
e) \(y = {\log _\pi }({2^x} – 2)\)
g) \(y = {\log _3}({3^{x – 1}} – 9)\)
a) \(D = ( – \infty ; – 1) \cup (4; + \infty )\)
b) \(D =(-1; 6)\)
c) \(D = ( – 5; – 3) \cup (3; + \infty )\)
d) \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x – 4}}{{x + 4}}\)
e) \(y = {\log _\pi }({2^x} – 2)\)
g) \(y = {\log _3}({3^{x – 1}} – 9)\).
Bài 2.26: Tình đạo hàm của các hàm số đã cho ở bài tập 2.25.
a) \(y = {\log _8}({x^2} – 3x – 4)\)
b) \(y = {\log _{\sqrt 3 }}( – {x^2} + 5x + 6)\)
c) \(y = {\log _{0,7}}\frac{{{x^2} – 9}}{{x + 5}}\)
d) \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{{x – 4}}{{x + 4}}\)
e) \(y = {\log _\pi }({2^x} – 2)\)
g) \(y = {\log _3}({3^{x – 1}} – 9)\)
a) \(y’ = \frac{{2x – 3}}{{({x^2} – 3x – 4)\ln 8}}\)
b) \(y’ = \frac{{ – 2x + 5}}{{( – {x^2} + 5x + 6)\ln \sqrt 3 }} = \frac{{ – 4x + 10}}{{( – {x^2} + 5x + 6)\ln 3}}\)
c) \(y’ = \frac{{{x^2} + 10x + 9}}{{({x^2} – 9)(x + 5)\ln 0,7}}\)
d) \(y’ = \frac{8}{{(16 – {x^2})\ln 3}}\)
e) \(y’ = \frac{{{2^x}\ln 2}}{{({2^x} – 2)\ln \pi }}\)
g) \(y’ = \frac{{{3^{x – 1}}}}{{{3^{x – 1}} – 9}}\)
