Bài 2.30: Giải các phương trình mũ sau:
a) \({(0,75)^{2x – 3}} = {(1\frac{1}{3})^{5 – x}}\)
b) \({5^{{x^2} – 5x – 6}} = 1\)
c) \({(\frac{1}{7})^{{x^2} – 2x – 3}} = {7^{x + 1}}\)
d) \({32^{\frac{{x + 5}}{{x – 7}}}} = 0,{25.125^{\frac{{x + 17}}{{x – 3}}}}\)
a) \({(\frac{3}{4})^{2x – 3}} = {(\frac{4}{3})^{5 – x}}\)
\( \Leftrightarrow {(\frac{3}{4})^{2x – 3}} = {(\frac{3}{4})^{x – 5}}\)
\(\Leftrightarrow 2x – 3 = x – 5 \Leftrightarrow x = – 2\)
b) \(\begin{array}{l}
{5^{{x^2} – 5x – 6}} = {5^0} \Leftrightarrow {x^2} – 5x – 6 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
x = 6
\end{array} \right.
\end{array}\)
c) \(\begin{array}{l}
{(\frac{1}{7})^{{x^2} – 2x – 3}} = {(\frac{1}{7})^{ – x – 1}} \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 3 = – x – 1 \Leftrightarrow {x^2} – x – 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
x = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
d) \({2^{5.\frac{{x + 5}}{{x – 7}}}} = {2^{ – 2}}{.5^{3.\frac{{x + 17}}{{x – 3}}}} < = > {2^{\frac{{5x + 25}}{{x – 7}} + 2}} = {5^{\frac{{3x + 51}}{{x – 3}}}} < = > {2^{\frac{{7x + 11}}{{x – 7}}}} = {5^{\frac{{3x + 51}}{{x – 3}}}}\)
Lấy logarit cơ số 2 cả hai vế, ta được:
\(\frac{{7x + 11}}{{x – 7}} = \frac{{3x + 51}}{{x – 3}}{\log _2}5 < = > \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{7{x^2} – 10x – 33 = (3{x^2} + 30x – 357){{\log }_2}5}\\
{x \ne 7,x \ne 3}
\end{array}} \right.\)
\( < = > (7 – 3{\log _2}5){x^2} – 2(5 + 15{\log _2}5) – (33 – 357{\log _2}5) = 0\)
Ta có: \(\Delta ‘ = {(5 + 15{\log _2}5)^2} + (7 – 3{\log _2}5)(33 – 357{\log _2}5)\)
\( = 1296\log _2^25 – 2448{\log _2}5 + 256 > 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình đã cho có hai nghiệm: \(x = \frac{{5 + 15{{\log }_2}5 \pm \sqrt {\Delta ‘} }}{{7 – 3{{\log }_2}5}}\) , đều thỏa mãn điều kiện
Bài 2.31: Giải các phương trình mũ sau:
a) \({2^{x + 4}} + {2^{x + 2}} = {5^{x + 1}} + {3.5^x}\)
b) \({5^{2x}} – {7^x} – {5^{2x}}.17 + {7^x}.17 = 0\)
c) \({4.9^x} + {12^x} – {3.16^x} = 0\)
d) \( – {8^x} + {2.4^x} + {2^x} – 2 = 0\)
a) \({16.2^x} + {4.2^x} = {5.5^x} + {3.5^x}\)
\(\Leftrightarrow {20.2^x} = {8.5^x} \Leftrightarrow {(\frac{2}{5})^x} = {(\frac{2}{5})^1} \Leftrightarrow x = 1\)
b) \({16.7^x} – {16.5^{2x}} = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow {7^x} = {5^{2x}} \Leftrightarrow {(\frac{7}{{25}})^x} = {(\frac{7}{{25}})^0} \Leftrightarrow x = 0\)
c) Chia hai vế cho \({12^x}({12^x} > 0)\) , ta được:
\(4{(\frac{3}{4})^x} + 1 – 3{(\frac{4}{3})^x} = 0\)
Đặt \(t = {(\frac{3}{4})^x}\) (t > 0), ta có phương trình:
\(4t + 1 – \frac{3}{t} = 0 \Leftrightarrow 4{t^2} + t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = – 1(l)}\\
{t = \frac{3}{4}}
\end{array}} \right.\)
Do đó, \({(\frac{3}{4})^x} = {(\frac{3}{4})^1}\) . Vậy x = 1.
d) Đặt \(t = {2^x}(t > 0)\) , ta có phương trình:
\( – {t^3} + 2{t^2} + t – 2 = 0\)
\(\Leftrightarrow(t – 1)(t + 1)(2 – t) = 0 < = >\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = – 1(l)}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.\)
Do đó, \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^x} = 1}\\
{{2^x} = 2}
\end{array}} \right.\)
Bài 2.32: Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:
a) \({2^{ – x}} = 3x + 10\)
b) \({(\frac{1}{3})^{ – x}} = – 2x + 5\)
c) \({(\frac{1}{3})^x} = x + 1\)
d) \({3^x} = 11 – x\)
a) Vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {2^{ – x}}\) và đường thẳng y = 3x +10 trên cùng một hệ trục tọa độ (H. 57) ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = -2. Thử lại, ta thấy x = -2 thỏa mãn phương trình đã cho.
Mặt khác, hàm số \(y = {2^{ – x}} = {(\frac{1}{2})^x}\) luôn nghịch biến, hàm số y = 3x + 10 luôn đồng biến.
Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất.
b) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {(\frac{1}{3})^{ – x}}\) và đường thẳng y = -2x + 5 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.58), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 1. Thử lại, ta thấy x = 1 thỏa mãn phương trình đã cho.
Mặt khác, hàm số \(y = {(\frac{1}{3})^{ – x}} = {3^x}\) luôn đồng biến, hàm số y = -2x + 5 luôn nghịch biến.
Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất.
c) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {(\frac{1}{3})^x}\) và đường thẳng y = x + 1 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.59), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0. Thử lại, ta thấy x = 0 thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, \(y = {(\frac{1}{3})^x}\) là hàm số luôn nghịch biến, hàm số y = x +1 luôn đồng biến.
Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất.
d) Vẽ đồ thị của hàm số và đường thẳng y = 11 – x trên cùng một hệ trục tọa độ (H.60), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2. Thử lại, ta thấy x = 2 thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, \(y = {3^x}\) luôn đồng biến , y = 11 – x luôn nghịch biến . Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất.
