Bài 1.56: Cho hàm số \(y = {{3(x + 1)} \over {x – 2}}\)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua O(0;0) và tiếp xúc với (C) .
c) Tìm tất cả các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên.
a)
b) Cách 1.
Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0; y0) là:
y – y0 = y’(x0)(x – x0)
Trong đó \(y'({x_0}) = {{ – 9} \over {{{({x_0} – 2)}^2}}}\) . Ta có:
\(y = – {9 \over {{{({x_0} – 2)}^2}}}(x – {x_0}) + {y_0}\) với \({y_0} = {{3({x_0} + 1)} \over {{x_0} – 2}}\)
Để đường thẳng đó đi qua O(0; 0), điều kiện cần và đủ là:
\({{9{x_0}} \over {{{({x_0} – 2)}^2}}} + {{3({x_0} + 1)} \over {{x_0} – 2}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_0} \ne 2 \hfill \cr
{x_0}^2 + 2{x_0} – 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow {x_0} = – 1 \pm \sqrt 3 \)
+) Với \({x_0} = – 1 + \sqrt 3 \) , ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = – {3 \over 2}(2 + \sqrt 3 )x\)
+) Với \({x_0} = – 1 – \sqrt 3 \) , ta có phương trình tiếp tuyến: \(y = – {3 \over 2}(2 – \sqrt 3 )x\) .
Advertisements (Quảng cáo)
Cách 2.
Phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O có dạng y = kx.
Để xác định tọa độ tiếp điểm của hai đường: \(y = {{3(x + 1)} \over {x – 2}}\) và y = kx , ta giải hệ:
\(\left\{ \matrix{
{{3(x + 1)} \over {x – 2}} = kx \hfill \cr
– {9 \over {{{(x – 2)}^2}}} = k \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{3(x + 1)} \over {x – 2}} + {{9x} \over {{{(x – 2)}^2}}} = 0 \hfill \cr
– {{3(x + 1)} \over {x – 2}} = k \hfill \cr} \right.\)
Giải phương trình thứ nhất ta được: \(x = – 1 \pm \sqrt 3 \)
Thay vào phương trình thứ hai ta có:
\({k_1} = – {3 \over 2}(2 + \sqrt 3 );{k_2} = – {3 \over 2}(2 – \sqrt 3 )\)
Từ đó có hai phương trình tiếp tuyến là: \(y = – {3 \over 2}(2 + \sqrt 3 )x\) và \(y = – {3 \over 2}(2 – \sqrt 3 )x\)
c) Để tìm trên (C) các điểm có tọa độ nguyên ta có:
\(y = {{3(x + 1)} \over {x – 2}} \Leftrightarrow y = 3 + {9 \over {x – 2}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Điều kiện cần và đủ để \(M(x,y) \in (C)\) có tọa độ nguyên là:
\(\left\{ \matrix{
x \in Z \hfill \cr
{9 \over {x – 2}} \in Z \hfill \cr} \right.\)
tức (x – 2) là ước của 9.
Khi đó, x – 2 nhận các giá trị \( \pm 1; \pm 3; \pm 9\) hay x nhận các giá trị 1; 3; -1; 5; -7; 11.
Do đó, ta có 6 điểm trên (C) có tọa độ nguyên là: (1; -6), (3; 12), (-1; 0), (5; 6), (-7; 2), (11; 4).
Bài 1.57: a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
\(y = {{x + 2} \over {x – 3}}\)
b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai tiệm cận của (C) là tâm đối xứng của (C).
c) Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.
a)
b) Tiệm cận đứng là đường thẳng x = 3.
Tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1.
Do đó, giao điểm của hai đường tiệm cận là I(3; 1). Thực hiện phép biến đổi:
\(\left\{ \matrix{
x = X + 3 \hfill \cr
y = Y + 1 \hfill \cr} \right.\)
Ta được \(Y + 1 = {{X + 5} \over X} \Leftrightarrow Y = {{X + 5} \over X} – 1 \Leftrightarrow Y = {5 \over X}\)
Vì \(Y = {5 \over X}\) là hàm số lẻ nên đồ thị (C) của hàm số này có tâm đối xứng là gốc tọa độ I của hệ tọa độ IXY.
c) Giả sử \(M({x_0};{y_0}) \in (C)\) . Gọi d1 là khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng và d2 là khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang, ta có:
\({d_1} = |{x_0} – 3|,{d_2} = |{y_0} – 1| = {5 \over {|{x_0} – 3|}}\)
Có hai điểm thỏa mãn đầu bài, đó là hai điểm có hoành độ \({x_0} = 3 \pm \sqrt 5 \)
Bài 1.58: Chứng minh rằng phương trình: 3x5 + 15x – 8 = 0 chỉ có một nghiệm thực.
Hàm số 3x5 + 15x – 8 = 0 là hàm số liên tục và có đạo hàm trên R.
Vì \(f(0) = – 8 < 0,f(1) = 10 > 0\) nên tồn tại một số \({x_0} \in (0;1)\) sao cho f(x0) = 0, tức là phương trình f(x) = 0 có nghiệm.
Mặt khác, ta có \(y’ = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in R\) nên hàm số đã cho luôn luôn đồng biến. Vậy phương trình đó chỉ có một nghiệm.
