Bài 34: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
a) \(y = {{x – 2} \over {3x + 2}}\) b) \(y = {{ – 2x – 2} \over {x + 3}}\)
c) \(y = x + 2 – {1 \over {x – 3}}\) d) \(y = {{{x^2} – 3x + 4} \over {2x + 1}}\)
e) \(y = {{x + 2} \over {{x^2} – 1}}\) f) \(y = {x \over {{x^3} + 1}}\)
Gỉải
a) TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ { – {2 \over 3}} \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x + 2} \over {3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 – {2 \over x}} \over {3 + {2 \over x}}} = {1 \over 3}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = {1 \over 3}\) nên đường thẳng \(y = {1 \over 3}\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – {2 \over 3}} \right)}^ + }} y = – \infty \) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – {2 \over 3}} \right)}^ – }} y = + \infty \); nên đường thẳng \(x = – {2 \over 3}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
b) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { – 3} \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ – 2 – {2 \over x}} \over {1 + {3 \over x}}} = – 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – 2\) nên đường thẳng \(y = – 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị.
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 3} \right)}^ + }} y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 3} \right)}^ – }} y = – \infty \) nên đường thẳng \(x = – 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
c) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 3 \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} y = + \infty \) nên đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y – \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ – 1} \over {x – 3}} = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left[ {y – \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – 1} \over {x – 3}} = 0\) nên đường thẳng \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị.
d) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { – {1 \over 2}} \right\}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – {1 \over 2}} \right)}^ + }} y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – {1 \over 2}} \right)}^ – }} y = – \infty \) nên đường thẳng \(x = – {1 \over 2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
Tiệm cận xiên có dạng \(y = ax + b\)
\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^2} – 3x + 4} \over {x\left( {2x + 1} \right)}} = {1 \over 2} \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y – {x \over 2}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^2} – 3x + 4} \over {2x + 1}} – {x \over 2}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{ – 7x + 8} \over {2\left( {2x + 1} \right)}} = – {7 \over 4} \cr} \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} y = + \infty \)
Đường thẳng \(y = {x \over 2} – {7 \over 4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \) và \(x \to – \infty \)).
Cách khác:
Ta có: \(y = {1 \over 2}.{{{x^2} – 3x + 4} \over {x + {1 \over 2}}} = {1 \over 2}\left( {x – {7 \over 2} + {{23} \over {4\left( {x + {1 \over 2}} \right)}}} \right)\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y – \left( {{x \over 2} – {7 \over 4}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{23} \over {8\left( {x + {1 \over 2}} \right)}} = 0\) nên đường thẳng \(y = {x \over 2} – {7 \over 4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị.
e) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { – 1;1} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0\) nên đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = – \infty \) nên đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} {{x + 2} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {x – 1} \right)}} = + \infty \) nên đường thẳng \(x = – 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị.
f) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { – 1} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0\) nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} y = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} y = + \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.
Bài 35: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
\(a)\,y = {{2x – 1} \over {{x^2}}} + x – 3\,;\) \(b)\,\,{{{x^3} + 2} \over {{x^2} – 2x}}\)
\(c)\,\,{{{x^3} + x + 1} \over {{x^2} – 1\,}}\,\,;\) \(d)\,\,{{{x^2} + x + 1} \over { – 5{x^2} – 2x + 3}}\)
a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = – \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left[ {y – \left( {x – 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2x – 1} \over {{x^2}}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{2 \over x} – {1 \over {{x^2}}}} \right) = 0\) nên y = x – 3 là tiệm cận xiên.
b) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ {0;2} \right\}\)
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x – 2} \right)}} = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x – 2} \right)}} = + \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x – 2} \right)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} {{{x^3} + 2} \over {x\left( {x – 2} \right)}} = – \infty \) nên \(x = 2\) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng \(y = ax +b\)
\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^3} + 2} \over {{x^3} – 2{x^2}}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {2 \over {{x^3}}}} \over {1 – {2 \over x}}} = 1 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^3} + 2} \over {{x^2} – 2x}} – x} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2{x^2} + 2} \over {{x^2} – 2x}} = 2 \cr} \)
Đường thẳng \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên của đồ thị.
c) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { – 1;1} \right\}\)
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = – \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng .
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{x^3} + x + 1} \over {\left( {x – 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} y = – \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.
* Tiệm cận xiên có dạng \(y = ax + b\)
\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{{x^3} + x + 1} \over {x\left( {{x^2} – 1} \right)}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}} \over {1 – {1 \over {{x^2}}}}} = 1 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {y – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \left( {{{{x^3} + x + 1} \over {{x^2} – 1}}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{2x + 1} \over {{x^2} – 1}} = 0 \cr} \)
\( \Rightarrow y = x\) là tiệm cận xiên.
d) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { – 1;{3 \over 5}} \right\}\)
* Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {{1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} \over { – 5 – {2 \over x} + {3 \over {{x^2}}}}} = – {1 \over 5}\) nên \(y = – {1 \over 5}\) là tiệm cận ngang.
* \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 – 5x} \right)}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { – 1} \right)}^ – }} y = – \infty \) nên \(x = -1\) là tiệm cận đứng.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ + }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 – 5x} \right)}} = – \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {{3 \over 5}} \right)}^ – }} {{{x^2} + x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {3 – 5x} \right)}} = + \infty \) nên \(x = {3 \over 5}\) là tiệm cận đứng.
Bài 36: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:
Advertisements (Quảng cáo)
\(a)\,\,y = \sqrt {{x^2} – 1} \,\,\); b) \(y = 2x + \sqrt {{x^2} – 1} \)
c) \(y = x + \sqrt {{x^2} + 1} \) d) \(y = \sqrt {{x^2} + x + 1} \).
Gỉải: a) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash ( – \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to + \infty \)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} – 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x\sqrt {1 – {1 \over {{x^2}}}} } \over x} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 – {1 \over {{x^2}}}} = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – 1} – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 1} + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị khi \(x \to + \infty \).
* Tiệm cận xiên khi \(x \to – \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {{x^2} – 1} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – x\sqrt {1 – {1 \over {{x^2}}}} } \over x}\)
\(= – \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \sqrt {1 – {1 \over {{x^2}}}} = – 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – 1} – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 1} + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = -x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to – \infty \)).
b) TXĐ: \(D =\mathbb R\backslash ( – \infty ;1{\rm{]}} \cup {\rm{[}}1; + \infty )\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to + \infty \)
Ta có: \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2 + \sqrt {1 – {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 3\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y – 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – 1} – x} \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{ – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 1} + x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = 3x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to + \infty \)).
* Tiệm cận xiên khi \(x \to – \infty \)
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {2 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right)\)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {2 – \sqrt {1 – {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {y – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\sqrt {{x^2} – 1} + x} \right) \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – 1} \over {\sqrt {{x^2} – 1} – x}} = 0\)
Vậy đường thẳng \(y = x\) là tiệm cận xiên của đồ thị (khi \(x \to – \infty \))
c) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
* Tiệm cận xiên khi \(x \to + \infty \)
\(\eqalign{
& a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + {{\sqrt {{x^2} + 1} } \over x}} \right) \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {1 + \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \right) = 2 \cr
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y – 2x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + 1} – x} \right)\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + 1} + x}} = 0 \cr} \)
Đường thẳng \(y = 2x\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to + \infty \))
* Tiệm cận khi \(x \to – \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} – 1} } \right) \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {1 \over {x – \sqrt {{x^2} – 1} }} = 0\)
Đường thẳng \(y = 0\) là tiệm cận ngang (khi \(x \to – \infty \))
d) TXĐ: \(D =\mathbb R\)
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} = 1\)
\(\eqalign{
& b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} – x} \right) \cr
&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x}} \cr&= \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 + {1 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }+1} = {1 \over 2} \cr} \)
Đường thẳng \(y = x + {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to + \infty \))
* \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {y \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{\sqrt {{x^2} + x + 1} } \over x} \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{ – x\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} } \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } -\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} = – 1\)
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {y + x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x + 1} + x} \right) \)
\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} – x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } {{1 + {1 \over x}} \over { – \sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} }-1} = – {1 \over 2}\)
Đường thẳng \(y = – x – {1 \over 2}\) là tiệm cận xiên (khi \(x \to – \infty \))
