Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau :
a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} + {x \over 2};\)
b) \(f\left( x \right) = 2{x^3} – 5x + 7;\)
c) \(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}} – {x^2} – {1 \over 3};\)
d) \(f\left( x \right) = {x^{ – {1 \over 3}}};\)
e) \(f\left( x \right) = {10^{2x}}.\)
Giải: Áp dụng công thức : \(\int {{x^\alpha }} dx = {{{x^{\alpha + 1}}} \over {\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne – 1} \right)\)
a) \(\int {\left( {3{x^2} + {x \over 2}} \right)} dx\)
\(= 3\int {{x^2}dx + {1 \over 2}\int {xdx = {x^3} + {{{x^2}} \over 4} + C} } \)
b) \(\int {\left( {2{x^3} – 5x + 7} \right)} dx \)
\(= 2\int {{x^3}dx – 5\int {xdx + 7\int {dx} } }\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= {{{x^4}} \over 2} – {{5{x^2}} \over 2} + 7x + C\)
c) \(\int {\left( {{1 \over {{x^2}}} – {x^2} – {1 \over 3}} \right)} dx \)
\(= \int {{x^{ – 2}}dx – \int {{x^2}dx – {1 \over 3}} } \int {dx = – {1 \over x}} – {{{x^3}} \over 3} – {x \over 3} + C\)
d) \(\int {{x^{ – {1 \over 3}}}dx = {{{x^{{2 \over 3}}}} \over {{2 \over 3}}}} + C = {3 \over 2}{x^{{2 \over 3}}} + C\)
Bài 2: Tìm
a) \(\int {\left( {\sqrt x + \root 3 \of x } \right)dx;} \) b) \(\int {{{x\sqrt x + \sqrt x } \over {{x^2}}}} dx;\)
c) \(\int {4{{\sin }^2}xdx;} \) d) \(\int {{{1 + \cos 4x} \over 2}dx.} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Giải: a) \(\int {\left( {\sqrt x + \root 3 \of x } \right)dx = \int {\left( {{x^{{1 \over 2}}} + {x^{{1 \over 3}}}} \right)dx}}\)
\(= {{{x^{{3 \over 2}}}} \over {{3 \over 2}}} + {{{x^{{4 \over 3}}}} \over {{4 \over 3}}} + C = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + {3 \over 4}{x^{{4 \over 3}}} + C\)
b)
\(\eqalign{
& \int {{{x\sqrt x + \sqrt x } \over {{x^2}}}} dx = \int {{1 \over {\sqrt x }}} dx + \int {{{dx} \over {x\sqrt x }}} \cr&= \int {{x^{ – {1 \over 2}}}} dx + \int {{x^{ – {3 \over 2}}}} dx \cr
& = {{{x^{{1 \over 2}}}} \over {{1 \over 2}}}\, + {{{x^{ – {1 \over 2}}}} \over {{-1 \over 2}}}\, + C = 2\sqrt x – {2 \over {\sqrt x }} + C \cr} \)
c) \(\int {4{{\sin }^2}xdx = \int {2\left( {1 – \cos 2x} \right)dx} }\)
\(= 2\int {dx – 2\int {\cos 2xdx} } = 2x – \sin 2x + C\)
d) \(\int {{{1 + \cos 4x} \over 2}dx = {x \over 2}} + {1 \over 8}\sin 4x + C\)
Bài 3: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây :
Nguyên hàm của hàm số \(y=x\sin x\) là
\(\left( A \right)\,{x^2}\sin {x \over 2} + C;\)
\(\left( B \right) – x\cos x + C;\)
\(\left( C \right)\, – x\cos x + \sin x + C.\)
Giải: Ta có \(\left( { – x\cos x + \sin x + C} \right)’ \)
\(= – \cos x + x\sin x + \cos x = x\sin x.\) chọn (C).
Bài 4: Khẳng định sau đúng hay sai : Nếu \(f\left( x \right) = \left( {1 – \sqrt x } \right)’\) thì \(\int {f\left( x \right)dx = – \sqrt x } + C?\)
Giải: Đúng vì \( – \sqrt x \) là một nguyên hàm của \(f(x)\).
