Bài 8: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {{{{x^3}} \over {18}} – 1} \right);\)
b) \(f\left( x \right) = {1 \over {{x^2}}}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{1 \over x}\cos {1 \over x};\)
c) \(f\left( x \right) = {x^3}{e^x};\)
d) \(f\left( x \right) = {e^{\sqrt {3x – 9} }}.\)
Giải
a) Đặt \(u = {{{x^3}} \over {18}} – 1 \Rightarrow du = {1 \over 6}{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = 6du\)
Do đó \(\int {{x^2}{{\left( {{{{x^3}} \over {18}} – 1} \right)}^5}dx = \int {6{u^5}du = {u^6}} } + C \)
\(= {\left( {{{{x^3}} \over {18}} – 1} \right)^6} + C\)
b) Đăt \(u = \sin {1 \over x} \Rightarrow du = – {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over 2}dx \)
\(\Rightarrow {1 \over {{x^2}}}\cos {1 \over x}dx = – du\)
\( \Rightarrow \int {{1 \over {{x^2}}}\sin {1 \over x}\cos {1 \over x}dx = – \int {udu = – {{{u^2}} \over 2} + C} } \)
\(= – {1 \over 2}{{\sin }^2}\left( {{1 \over x}} \right) + C \)
c) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = {x^3} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 3{x^2}dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow I = \int {{x^3}{e^x}dx = {x^3}{e^x} – 3\int {{x^2}{e^x}dx\,\,\left( 1 \right)} } \)
Tính \({I_1} = \int {{x^2}} {e^x}dx\)
Đặt
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow {I_1} = {x^2}{e^x} – 2\int {x{e^x}dx\,\,\,\,\left( 2 \right)} \)
Tính \({I_2} = \int {x{e^x}dx} \)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {e^x}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {e^x} \hfill \cr} \right. \)
\(\Rightarrow {I_2} = x{e^x} – \int {{e^x}dx = {e^x}\left( {x – 1} \right) + C} \)
Thay \({I_2}\) vào (2) ta được: \({I_1} = {x^2}{e^x} – 2{e^x}\left( {x – 1} \right) = {e^x}\left( {{x^2} – 2x + 2} \right) + C\)
Thay \({I_1}\) vào (1) ta được : \(I = {x^3}{e^x} – 3{e^x}\left( {{x^2} – 2x + 2} \right)\)
\(= {e^x}\left( {{x^3} – 3{x^2} + 6x – 6} \right) + C\)
d) Đặt \(u = \sqrt {3x – 9} \Rightarrow {u^2} = 3x – 9 \Rightarrow 2udu = 3dx \)
\(\Rightarrow dx = {{2udu} \over 3}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Do đó \(\int {{e^{\sqrt {3x – 9} }}dx = {2 \over 3}\int {u{e^u}du = {2 \over 3}{e^u}\left( {u – 1} \right) + C} } \) (bài 6c)
\( = {2 \over 3}{e^{\sqrt {3x – 9} }}\left( {\sqrt {3x – 9} – 1} \right) + C\)
Bài 9: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f\left( x \right) = {x^2}\cos 2x;\) \(b)\,f\left( x \right) = \sqrt x \ln x;\)
c) \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x\cos x;\) d) \(f\left( x \right) = x\cos \left( {{x^2}} \right);\)
Giải
a) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\)
Do đó \(\int {{x^2}\cos 2xdx = {1 \over 2}{x^2}\sin 2x} – \int {x\sin 2xdx\,\,\,\left( 1 \right)} \)
Tính \(\int {x\sin 2xdx} \)
Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = – {1 \over 2}\cos 2x \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow \int {x\sin 2xdx = – {1 \over 2}x\cos 2x + {1 \over 2}\int {\cos 2xdx}} \)
\(= – {1 \over 2}x\cos 2x – {1 \over 4}\sin 2x + C \)
Thay vào (1) ta được \(\int {{x^2}\cos 2xdx = {1 \over 2}{x^2}\sin 2x + {1 \over 2}x\cos 2x} \)
\(+ {1 \over 4}\sin 2x + C\)
b) Đặt
\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = \sqrt x dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr
v = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} \hfill \cr} \right.\)
\( \Rightarrow \int {\sqrt x } \ln xdx = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}\ln x – {2 \over 3}\int {{x^{{1 \over 2}}}dx} \)
\( = {2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}}\ln x – {2 \over 3}.{2 \over 3}{x^{{3 \over 2}}} + C \)
\(= {2 \over 3}\sqrt {{x^3}} \ln x – {4 \over 9}\sqrt {{x^3}} + C\)
c) Đặt \(u = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Rightarrow du = \cos xdx\)
\( \Rightarrow \int {{{\sin }^4}x\cos xdx = } \int {{u^4}du = {{{u^5}} \over 5} + C}\)
\(= {1 \over 5}{{\sin }^5}x + C.\)
d) Đặt \(u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = {1 \over 2}du\)
\( \Rightarrow \int {x\cos \left( {{x^2}} \right)dx = {1 \over 2}\int {\cos udu = {1 \over 2}\sin u + C} } \)
\(= {1 \over 2}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}{{\rm{x}}^2} + C. \)
