Bài 5: Tìm số giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \((α)\) :
a) d: \(\left\{\begin{matrix} x=12+4t & \\ y=9+3t & \\ z=1+t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : 3x + 5y – z – 2 = 0\) ;
b) d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=2-t & \\ z=1+2t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : x + 3y + z = 0\) ;
c) d: \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=1+2t & \\ z=2-3t & \end{matrix}\right.\) và \((α) : x + y + z – 4 = 0\).
a) Thay các tọa độ \(x ; y ; z\) trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có:
\(3(12 + 4t) +5(9 + 3t) – (1 + t) = 0\)
\( ⇔ 26t + 78 = 0 ⇔ t = -3\).
Tức là \(d ∩ (α) = M(0 ; 0 ; -2)\).
Trong trường hợp này \(d\) cắt \((α)\) tại điểm \(M\).
b) Thay các tọa độ \(x ; y ; z\) trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có:
\((1 + t) + 3.(2 – t) + (1 + 2t) + 1 = 0\)
\(⇔ 0.t +9= 0\), phương trình vô nghiệm.
Advertisements (Quảng cáo)
Chứng tỏ \(d\) và \((α)\) không cắt nhau hay \(d // (α)\).
c) Thay các tọa độ \(x ; y ; z\) trong phương trình tham số của \(d\) vào phương trình \((α)\) ta có:
\((1 + 1) + (1+ 2t) + (2 – 3t) – 4 = 0\)
\(⇔ 0t + 0 = 0\)
phương trình này có vô số nghiệm, chứng tỏ \(d ⊂ (α)\)
Bài 6: Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(∆\) :
\(\Delta \left\{ \matrix{
x = – 3 + 2t \hfill \cr
y = – 1 + 3t \hfill \cr
z = – 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)
với mặt phẳng \((α)\) : \(2x – 2y + z + 3 = 0\).
Advertisements (Quảng cáo)
Đường thẳng \(∆\) qua điểm \(M(-3 ; -1 ; -1)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u (2 ; 3 ; 2)\).
Mặt phẳng \((α)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (2 ; -2 ; 1)\).
Ta có \(M ∉ (α)\) và \(\overrightarrow u .\overrightarrow n = 0\) nên \(∆ // (α)\).
Do vậy \(d(∆,(α)) = d(M,(α))\) = \({{| – 6 + 2 – 1 + 3|} \over {\sqrt {4 + 4 + 1} }} = {2 \over 3}\).
Bài 7: Cho điểm \(A(1 ; 0 ; 0)\) và đường thẳng \(∆\): \(\left\{\begin{matrix} x=2+t & \\ y=1+2t & \\ z=t & \end{matrix}\right.\).
a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên đường thẳng \(∆\).
b) Tìm tọa độ điểm \(A’\) đối xứng với \(A\) qua đường thẳng \(∆\).
.
a) Đường thẳng \(∆\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{u}(1 ; 2 ; 1)\). \(H ∈ ∆\) nên \(H(2 + t ; 1 + 2t ; t)\).
Điểm \(H ∈ ∆\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AH}\bot\) \(\overrightarrow{u}\).
Ta có \(\overrightarrow{AH}(1+t ; 1 + 2t ; t)\) nên:
\(\overrightarrow{AH}\) ⊥ \(\overrightarrow{u}\) ⇔ \(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{AH}\) = 0.
⇔ \(1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0\)
⇔ \(6t + 3 = 0 ⇔ t = -\frac{1}{2}\).
⇔ \(H\left (\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2} \right )\).
b) Gọi \(A’\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(∆\) và \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(∆\) thì \(H\) là trung điểm của \(AA’\); vì vậy tọa độ của \(H\) là trung bình cộng các tọa độ tương ứng của \(A\) và \(A’\).
Gọi \(A'(x ; y ; z)\) ta có:
\(\frac{x+1}{2}=\frac{3}{2} => x = 2; y = 0; z = -1\).
Vậy \(A'(2 ; 0 ; -1)\)
