Câu 1. (5 điểm ) : Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình \(3x – y – 3 = 0\). Viết phương trình đường thẳng d1 là ảnh của d qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \left( { – 1;2} \right)\) và phép quay tâm O góc quay -90°.
Câu 2. (5 điểm ) : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 9\). Viết phương trình đường tròn ảnh của đường tròn đã cho qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v = \left( {2;0} \right)\) phép vị tự tâm O tỉ số \(k = – 3\).
Câu 1.
Lấy điểm \(M = \left( {x;y} \right)\)
Giả sử \({M_1} = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)\) và \(M’ = {Q_{\left( {O, – {{90}^0}} \right)}}\left( {{M_1}} \right)\)
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{x_1} = – 1 + x \hfill \cr
{y_1} = 2 + y \hfill \cr} \right.\) và
\(\left\{ \matrix{
x’ = {y_1} \hfill \cr
y’ = – {x_1} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 – y` \hfill \cr
y = x’ – 2 \hfill \cr} \right.\)
Thế \(\left( {x;y} \right)\) theo \(\left( {x’;y’} \right)\) vào phương trình , ta có:
Advertisements (Quảng cáo)
\(3\left( {1 – y’} \right) – \left( {x’ – 2} \right) – 3 = 0\). Như vậy phương trình d’ là :
\(x’ + 3y’ – 2 = 0\) hay \(x + 3y – 2 = 0\).
Câu 2. Cách 1.
Giả sử \({M_1} = {T_{\overrightarrow v }}\left( M \right)\) và \(M’ = {V_{\left( {O,k = – 3} \right)}}\left( {{M_1}} \right)\). Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{x_1} = x + 2 \hfill \cr
{y_1} = y + 0 \hfill \cr} \right.\) và
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left\{ \matrix{
x’ = – 3{x_1} \hfill \cr
y’ = – 3{y_1} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
x’ = – 3\left( {x + 2} \right) \hfill \cr
y’ = – 3y \hfill \cr} \right.\)
Khi đó:
\(\left\{ \matrix{
x = {{x’} \over { – 3}} – 2 \hfill \cr
y = {{y’} \over { – 3}} \hfill \cr} \right.\)
Thế x, y theo x’, y’vào phương trình đường tròn (C) đã cho, ta có:
\({\left[ {\left( { – {{x’} \over 3} – 2} \right) – 1} \right]^2} + {\left[ {\left( { – {{y’} \over 3}} \right) – 2} \right]^2} = 9\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {\left( { – {{x’} \over 3} – 3} \right)^2} + {\left( { – {{y’} \over 3} – 2} \right)^2} = 9 \cr
& \Leftrightarrow {\left( {x’ + 9} \right)^2} + {\left( {y’ + 6} \right)^2} = 81 \cr} \)
Vậy \({\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {y + 6} \right)^2} = 81\) là phương trình của đường tròn ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép dời hình đã cho.
Cách 2.
Đường tròn (C) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\), bán kính R = 3.
– Qua \({T_{\overrightarrow v }}\) : (C) biến thành đường tròn (C1) tâm I1, có tọa độ là :
\(\left\{ \matrix{
{x_1} = 1 + 2 = 3 \hfill \cr
{y_1} = 2 + 0 = 2 \hfill \cr} \right.\) , bán kính R1 = 3
– Qua phép vị tự \({V_{\left( {O,k = – 3} \right)}}\), (C1) biến thành đường tròn (C’) tâm I’, có tọa độ là :
\(\left\{ \matrix{
x’ = – 3{{\rm{x}}_1} = – 9 \hfill \cr
y’ = – 3{y_1} = – 6 \hfill \cr} \right.\) , bán kính \(R’ = \left| k \right|{R_1} = 9\)
Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {x + 6} \right)^2} = 81\).
