Bài 1.9: Nếu \(\lim {v_n} = 0\) và \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n thì \(\lim {u_n} = 0\). Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:
a) \({u_n} = {1 \over {n!}}\) ;
b) \({u_n} = {{{{\left( { – 1} \right)}^n}} \over {2n – 1}}\) ;
c) \({u_n} = {{2 – n{{\left( { – 1} \right)}^n}} \over {1 + 2{n^2}}}\) ;
d) \({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\cos n\) ;
e) \({u_n} = {5^n} – \cos \sqrt n \pi \)
a) Vì \(\left| {{1 \over {n!}}} \right| < {1 \over n}\) với mọi n và \(\lim {1 \over n} = 0\) nên \(\lim {1 \over {n!}} = 0\)
b) 0 ; c) 0 ; d) 0 ;
e) Ta có \({u_n} = {5^n} – \cos \sqrt n \pi = {5^n}\left( {1 – {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right)\) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Vì \(\left| {{{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right| \le {1 \over {{5^n}}}\) và \(\lim {1 \over {{5^n}}} = 0\) nên \(\lim {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}} = 0\)
Do đó, \(\lim \left( {1 – {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right) = 1 > 0\) (2)
Mặt khác, \(\lim {5^n} = + \infty \) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\lim \left( {{5^n} – \cos \sqrt n \pi } \right) = \lim {5^n}\left( {1 – {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right) = + \infty \)
Bài 1.10: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ xácđịnh bởi công thức truy hồi
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm{ voi }}n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Chứng minh rằng có giới hạn hữu hạn khi Tìm giới hạn đó.
Giải :
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = 2 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} \over 2}{\rm\,\,{ vớii }}\,\,n \ge 1 \hfill \cr} \right.\)
Ta có, \({u_1} = 2,\,\,{u_2} = {3 \over 2},\,\,{u_3} = {5 \over 4},\,\,{u_4} = {9 \over 8},\,\,{u_5} = {{17} \over {16}}\)
Dự đoán, \({u_n} = {{{2^{n – 1}} + 1} \over {{2^{n – 1}}}}\) với \(n \in N*\)
Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp (bạn đọc tự chứng minh).
Từ đó,
\(\eqalign{
& \lim {u_n} = \lim {{{2^{n – 1}} + 1} \over {{2^{n – 1}}}} \cr
& = \lim \left[ {1 + {{\left( {{1 \over 2}} \right)}^{n – 1}}} \right] \cr
& = \lim \left[ {1 + 2.{{\left( {{1 \over 2}} \right)}^n}} \right] = 1 \cr}\)
Bài 1.11: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(1, – {1 \over 2},{1 \over 4}, – {1 \over 8},…,{\left( { – {1 \over 2}} \right)^{n – 1}},…\)
Giải :
ĐS:
\({2 \over 3}\)
Bài 1.12: Tính tổng \(S = 1 + 0,9 + {\left( {0,9} \right)^2} + {\left( {0,9} \right)^3} + … + {\left( {0,9} \right)^{n – 1}} + …\)
ĐS: 10
