Trang Chủ Sách bài tập lớp 10 SBT Toán 10

Bài 3.58, 3.59, 3.60, 3.61 trang 163, 164 SBT Toán Hình Học 10: Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được ….

CHIA SẺ

Bài Đề toán tổng hợp chương III phần hình học Sách bài tập Toán Hình Học 10. Giải bài 3.58, 3.59, 3.60, 3.61 trang 163, 164 Sách bài tập Toán Hình Học 10. Câu 3.58: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B…

Bài 3.58: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm A thuộc trục hoành và điểm B thuộc trục tung sao cho A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0.

(Xem hình 3.17)

\(\eqalign{
& A \in Ox\,,\,B \in Oy \cr
& \Rightarrow A\left( {a;0} \right),B\left( {0;b} \right),AB = \left( { – a;b} \right). \cr} \)

Vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u  = \left( {2;1} \right)\)

Tọa độ trung điểm I của AB là \(\left( {{a \over 2};{b \over 2}} \right)\).

A và B đối xứng với nhau qua d khi và chỉ khi:

\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr
I \in d \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
– 2a + b = 0 \hfill \cr
{a \over 2} – b + 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = 2 \hfill \cr
b = 4. \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(A\left( {2;0} \right),B\left( {0;4} \right).\)

Bài 3.59: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0;2), B(-2;-2) và C(4;-2). Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N. 

(Xem hình 3.18)

Ta có \(M\left( { – 1;0} \right),N\left( {1; – 2} \right),AC = \left( {4; – 4} \right)\)

Giả sử H(x;y) . Ta có :

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {BH} \bot \overrightarrow {AC} \hfill \cr
H \in AC \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
4(x + 2) – 4(y + 2) = 0 \hfill \cr
4x + 4(y – 2) = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow H\left( {1;1} \right). \cr} \)

Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là:

\({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(1).\)

Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có hệ điều kiện :

\(\left\{ \matrix{
2a – c = 1 \hfill \cr
2a – 4b + c = – 5 \hfill \cr
2a + 2b + c = – 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = – {1 \over 2} \hfill \cr
b = {1 \over 2} \hfill \cr
c = – 2. \hfill \cr} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:

\({x^2} + {y^2} – x + y – 2 = 0\)

Bài 3.60: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A( 2;2) và các đường thẳng

\({d_1}:x + y – 2 = 0\); \({d_2}:x + y – 8 = 0\)

 Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc  \({d_1}\) và \({d_2}\) sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

(xem hình 3.19)

Vì \(B \in {d_1},C \in {d_2}\) nên \(B\left( {b;2 – b} \right),C\left( {c;8 – c} \right).\)

Tam giác ABC vuông cân tại A

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr
AB = AC \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
bc – 4b – c + 2 = 0 \hfill \cr
{b^2} – 2b = {c^2} – 8c + 18 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
(b – 1)(c – 4) = 2 \hfill \cr
{(b – 1)^2}{(c – 4)^2} = 3. \hfill \cr} \right. \cr} \)

Đặt x = b – 1, y = c – 4 ta có hệ :

\(\left\{ \matrix{
x.y = 2 \hfill \cr
{x^2} – {y^2} = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = – 2 \hfill \cr
y = – 1 \hfill \cr} \right.\)

hoặc

\(\left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 1. \hfill \cr} \right.\)

Vậy B(-1 ; 3), C(3 ; 5) hoặc B(3 ; -1), C(5;3)

Bài 3.61: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\) và đường thẳng d: 3x – 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C)  (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều.

(Xem hình 3.20)

(C) có tâm I(1 ; -2) và bán kính R = 3. Ta có tam giác PAB đều thì \(IP = 2IA = 2R = 6 \Leftrightarrow P\) thuộc đường tròn (C ’) có tâm I, bán kính R’=6.

Trên d có duy nhất một điểm P thỏa mãn yêu cầu bài toán khi và chỉ khi d tiếp xúc với (C ’) tại P \( \Leftrightarrow d(I,d) = 6\)

\( \Leftrightarrow m = 19,\,\,m =  – 41.\)