Trang Chủ Sách bài tập lớp 10 SBT Toán 10

Bài 3.50, 3.51, 3.52, 3.53 trang 162, 163 Sách BT Toán Hình Học 10: Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C) ?

CHIA SẺ

Bài Đề toán tổng hợp chương III phần hình học Sách bài tập Toán Hình Học 10. Giải bài 3.50, 3.51, 3.52, 3.53 trang 162, 163 Sách bài tập Toán Hình Học 10. Câu 3.50: Cho đường tròn (C)…

Bài 3.50: Cho đường tròn  (C): \({x^2} + {y^2} – 2x – 6y + 6 = 0\) và điểm M(2;4).

a) Chứng minh rằng điểm M nằm trong  (C) ;

b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn AB.

a) (C): \({x^2} + {y^2} – 2x – 6y + 6 = 0 \Rightarrow \)

(C)

\(\left\{ \matrix{
I(1;3) \hfill \cr
\,R = 2 \hfill \cr} \right.\,\)

(R là bán kính)

\(IM = \sqrt 2  < R \Rightarrow \) M nằm trong (C)

 b) Đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng \(AB \Rightarrow d \bot IM\) tại M

Phương trình đường thẳng d: – qua M(2;4)

    – nhận \(\overrightarrow {{\rm{IM}}} {\rm{ = (1;1)}}\) làm vectơ pháp tuyến

\( \Rightarrow d:1.(x – 2) + 1.(y – 4) = 0\)

\( \Rightarrow d:x + y – 6 = 0.\)

Bài 3.51: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E) : \({{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

a) Xác định độ dài các trục, tiêu cự của elip (E) ;

b) Tìm các điểm M thuộc (E) sao cho \({1 \over {M{F_1}}} + {1 \over {M{F_2}}} = {8 \over {{F_1}{F_2}}}\).

\((E):{{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

a) Ta có :

\(\left\{ \matrix{
{a^2} = 25 \Rightarrow a = 5 \hfill \cr
{b^2} = 9 \Rightarrow b = 3 \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow {c^2} = {a^2} – {b^2} = 25 – 9 = 16 \Rightarrow c = 4.\)

Độ dài trục lớn : \({A_1}{A_2} = 2a = 10\); Độ dài trục bé : \({B_1}{B_2} = 2b = 6\). Tiêu cự : \({F_1}{F_2} = 2c = 8\)

b) M thuộc \((E) \Rightarrow \left\{ \matrix{
M{F_1} = a + {c \over a}x = 5 + {4 \over 5}x \hfill \cr
M{F_2} = a – {c \over a}x = 5 – {4 \over 5}x \hfill \cr} \right.\)

\({1 \over {M{F_1}}} + {1 \over {M{F_2}}} = {8 \over {{F_1}{F_2}}} \Leftrightarrow 25 – {{16} \over {25}}{x^2} = 10\)

\( \Leftrightarrow x \pm {{5\sqrt {15} } \over 4} \Rightarrow y =  \pm {3 \over 4}\)

Vậy : có bốn điểm thỏa mãn yêu cầu bào toán là: \(M\left( { \pm {{5\sqrt {15} } \over 4}; \pm {3 \over 4}} \right).\)

Bài 3.52: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) : \({x^2} + {y^2} + 4x + 4y + 6 = 0\) và đường thẳng \(\Delta 😡 + my – 2m + 3 = 0\) với m là tham số thực.

a) Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của đường tròn (C) ;

b) Tìm m để  cắt (C)  tại hai điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. 

(Xem hình 3.12)

a) Đường tròn (C)  có tâm I(-2;-2) và bán kính \(R = \sqrt {2.} \)

b) Diện tích tam giác IAB là :

\(S = {1 \over 2}IA.IB\sin AIB \le {1 \over 2}{R^2} = 1.\)

S lớn nhất \( \Leftrightarrow S = 1\)

\( \Leftrightarrow \sin AIB = 1\)

\( \Leftrightarrow IA \bot IB\)

\( \Leftrightarrow d\left( {I,\Delta } \right) = {R \over {\sqrt 2 }}\)

\( \Leftrightarrow {{\left| { – 2 – 2m – 2m + 3} \right|} \over {\sqrt {1 + {m^2}} }} = 1\)

\( \Leftrightarrow {\left( {1 – 4m} \right)^2} = 1 + {m^2}\)

\( \Leftrightarrow 15{m^2} – 8m = 0\)

\( \Leftrightarrow m = 0$ hay $m = {8 \over {15}}\)

Bài 3.53: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC cân tại A có A(-1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : \(\Delta 😡 – y – 4 = 0\)

a) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng \(\Delta \)

b) Xác định tọa độ các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18.

a) Gọi H là hình chiếu của A trên , suy ra H là trung điểm của BC.

\(AH = d(A,BC) = {9 \over {\sqrt 2 }}$

b) \(BC = {{2{S_{\Delta ABC}}} \over {AH}} = 4\sqrt 2 .\)

\(AB = AC = \sqrt {A{H^2} + {{B{C^2}} \over 4}}  = \sqrt {{{97} \over 2}} .\)

Tọa độ điểm B và C là nghiệm của hệ :

\(\left\{ \matrix{
{\left( {x + 1} \right)^2} + {(y – 4)^2} = {{97} \over 2} \hfill \cr
x – y – 4 = 0\,. \hfill \cr} \right.\)

Giải hệ ta được $\left( {x;y} \right) = \left( {{{11} \over 2};{3 \over 2}} \right)$ hoặc $\left( {x;y} \right) = \left( {{3 \over 2}; – {5 \over 2}} \right)\)

Vậy \(B\left( {{{11} \over 2};{3 \over 2}} \right)\,,\,C\left( {{3 \over 2}; – {5 \over 2}} \right)$ hoặc $B\left( {{3 \over 2}; – {5 \over 2}} \right)\,,C\left( {{{11} \over 2};{3 \over 2}} \right)\,.\)