Bài 1.30: Cho tam giác ABC. Điểm I trên cạnh AC sao cho $$CI = {1 \over 4}CA$$, J là điểm mà
\(\overrightarrow {BJ} = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} – {2 \over 3}\overrightarrow {AB} \)
a) Chứng minh \(\overrightarrow {BI} = {3 \over 4}\overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} \)
b) Chứng minh B, I, J thẳng hàng.
c) Hãy dựng điểm J thỏa mãn điều kiện đề bài.
(Xem h.1.50)
a) \(\overrightarrow {BI} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AI} = – \overrightarrow {AB} + {3 \over 4}\overrightarrow {AC} \)
b) \({2 \over 3}\overrightarrow {BI} = {2 \over 3}\left( { – \overrightarrow {AB} + {3 \over 4}\overrightarrow {AC} } \right) = – {2 \over 3}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
Vậy \(\overrightarrow {BJ} = {2 \over 3}\overrightarrow {BI}\)
B, J, I thẳng hàng.
Advertisements (Quảng cáo)
c) Học sinh tự dựng điểm J.
Bài 1.28: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NA = 2NC. Gọi K là trung điểm của MN.
Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AK} \) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)
(h.1.48)
\(\overrightarrow {AK} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} )\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( = {1 \over 2}({1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {2 \over 3}\overrightarrow {AC} )\)
\( = {1 \over 4}\overrightarrow {AB} + {1 \over 3}\overrightarrow {AC} \)
Bài 1.29: Cho tam giác ABC. Dựng \(\overrightarrow {A’B} = \overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {C’A} = \overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC’} = \overrightarrow {CA} \)
a) Chứng minh rằng A là trung điểm của B’C’
b) Chứng minh các đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng quy
a) \(\overrightarrow {BC’} = \overrightarrow {CA} \) => Tứ giác ACBC’ là hình bình hành => \(\overrightarrow {AC’} = \overrightarrow {CB} \)
\(\overrightarrow {AB’} + \overrightarrow {AC’} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {BB} = \overrightarrow 0 \) =>A là trung điểm của B’C’
b) Vì tứ giác ACBC’ là hình bình hành nên CC’ chứa trung tuyến của tam giác ABC xuất phát từ đỉnh C. Tương tự như vậy với AA’, BB’. Do đó AA’, BB’, CC’ đồng quy tại trọng tâm G của tam giác ABC.
Bài 1.31: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng với điểm M bất kì ta có \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \)
(h.1.51)
\(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MO} \) ( Vì O là trung điểm của AC)
\(\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MD} = 2\overrightarrow {MO} \) ( Vì O là trung điểm của BD)
Vậy \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} = 4\overrightarrow {MO} \)
