Bài 1.24: Cho hai tam giác ABC và A’B’C’. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} = \overrightarrow 0 \) thì hai tam giác đó có cùng trọng tâm.
Gọ G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’. Ta có:
\(\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’A’} \)
\(\overrightarrow {BB’} = \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’B’} \)
\(\overrightarrow {CC’} = \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’C’} \)
Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta được
\(\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} = 3\overrightarrow {GG’} \)
Do đó, nếu \(\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} = \overrightarrow 0 \) thì \(\overrightarrow {GG’} = \overrightarrow 0 \) hay G = G’
Chú ý: Từ chứng minh trên cũng suy ra rằng nếu hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm thì \(\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {BB’} + \overrightarrow {CC’} = \overrightarrow 0 \)
Bài 1.25: Cho hai vec tơ không cùng phương \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \). Dựng các vec tơ:
a) \(2\overrightarrow a + \overrightarrow b \)
Advertisements (Quảng cáo)
b) \(\overrightarrow a – 2\overrightarrow b \)
c) \( – \overrightarrow a + {1 \over 2}\overrightarrow b\)
(Xem h.1. 45)
Hãy vẽ trường hợp \(\overrightarrow a – 2\overrightarrow b \)
Bài 1.26: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O có cạnh a.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AD} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AF} \)
b) Tính độ dài của vec tơ \({1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC} \) theo a.
(Xem h.1.46)
a) \(\overrightarrow {AD} = 2\overrightarrow {AO} = 2(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AF} ) = 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AF} \)
b) \({1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} ) = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}\)
\( = > \left| {{1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {BC} } \right| = {1 \over 2}\overrightarrow {AC} = {1 \over 2}a\sqrt 3 = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
Bài 1.27: Cho tam giác ABC có trung tuyến \(\overrightarrow {AM} \) (M là trung điểm của BC). Phân tích vec tơ \(\overrightarrow {AM} \) theo hai vec tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \)
(h.1.47)
Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.
Ta có tứ giác AFME là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {AF} = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
Có thể chứng minh cách khác như sau:
Vì M là trung điểm của BC nên \(2\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} \)
Hay \(\overrightarrow {AM} = {1 \over 2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\)
\( = {1 \over 2}\overrightarrow {AB} + {1 \over 2}\overrightarrow {AC} \)
