Bài 1: Viết điều kiện của các phương trình sau
a) \(\sqrt {2x + 1} = {1 \over x}\)
b) \({{x + 2} \over {\sqrt {2{x^2} + 1} }} = 3{x^2} + x + 1\)
c) \({x \over {\sqrt {x – 1} }} = {2 \over {\sqrt {x + 3} }}\)
d) \({{2x + 3} \over {{x^2} – 4}} = \sqrt {x + 1} \)
a) Điều kiện của phương trình là \(x \ge – {1 \over 2}\) và \(x \ne 0\)
b) \(\forall x \in R\)
c) Biểu thức vế trái có nghĩa khi x > 1 và biểu thức vế phải có nghĩa khi . Từ đó suy ra điều kiện của phương trình là x > 1.
d) Điều kiện của phương trình là \(x \ge – 1,x \ne 2\) và \(x \ne – 2\) . Vì x > -1 thì \(x \ne 2\) . Vì x > -1 thì \(x \ne – 2\) suy ra điều kiện của phương trình là \(x \ge – 1,x \ne 2\)
Bài 2: Xác định tham số m để các cặp phương trình sau tương đương
a) \(x + 2 = 0\) và \({{mx} \over {x + 3}} + 3m – 1 = 0\)
b) \({x^2} – 9 = 0\) và \(2{x^2} + (m – 5)x – 3(m + 1) = 0\)
a) Phương trình x + 2 = 0 có nghiệm x = -2.
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình \({{mx} \over {x + 3}} + 3m – 1 = 0\) có nghiệm duy nhất x = -2 khi -2m + 3m – 1 = 0 suy ra m = 1.
Vậy hai phương trình tương đương khi m = 1.
b) Phương trình \({x^2} – 9 = 0\) có hai nghiệm x =3 và x =-3
Giá trị x =3 là nghiệm của phương trình
\(2{x^2} + (m – 5)x – 3(m + 1) = 0\) (1)
Khi \(18 + 3(m – 5) – 3(m + 1) = 0\)
Đẳng thức trên thỏa mãn với mọi m.
Giá trị x = -3 là nghiệm của hệ phương trình (1) khi
\(18 + 3(m – 5) – 3(m + 1) = 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow 30 – 6m = 0 \Leftrightarrow m = 5\)
Khi m = 5 phương trình (1) trở thành
\(2{x^2} – 18 = 0 \Leftrightarrow {x^2} – 9 = 0\)
Phương trình này có hai nghiệm x = 3 và x = -3.
Vậy với m = 5 hai phương trình đã cho tương đương.
Bài 3: Gợi ý làm bài các phương trình
a) \(\sqrt {x + 1} + x = \sqrt {x + 1} + 2\)
b) \(x – \sqrt {3 – x} = \sqrt {x – 3} + 3\)
c) \({x^2} – \sqrt {2 – x} = 3 + \sqrt {x – 4} \)
d) \({x^2} + \sqrt { – x – 1} = 4 + \sqrt { – x – 1} \)
a) Điều kiện của phương trình là: \(x \ge – 1\). Ta có
\(\sqrt {x + 1} + x = \sqrt {x + 1} + 2 = > x = 2\)
Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện của phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm x = 2.
b) Điều kiện của phương trình là: \(x \le 3\) và \(x \ge 3\) hay x = 3.
Giá trị x = 3 nghiệm đúng phương trình đã cho.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 3.
c) Điều kiện của phương trình là: \(x \le 2\) và \(x \ge 4\) . Không có số thực nào thỏa mãn đồng thời hai điều kiện này.
d) Điều kiện của phương trình là: \(x \le – 1\) . Ta có:
\({x^2} + \sqrt { – x – 1} = 4 + \sqrt { – x – 1} = > {x^2} = 4 = > {x_1} = 2,{x_2} = – 2\)
Chỉ có giá trị \({x_2} = – 2\) thỏa mãn điều kiện \(x \le – 1\) và nghiệm đúng phương trình đã cho.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = -2.
