1. Giải phương trình \(\left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right) + 2\sqrt {{x^2} – 7x + 11} = 4\) .
2. Xác định các giá trị của tham số m để với mọi x ta có
\( – 1 \le \dfrac{{{x^2} + 5x + m}}{{2{x^2} – 3x + 2}} < 7\) .
1. Điều kiện xác định \({x^2} – 7x + 11 \ge 0\).
Ta có
\(\begin{array}{l}\left( {x – 3} \right)\left( {x – 4} \right) + 2\sqrt {{x^2} – 7x + 11} = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} – 7x + 11 + 2\sqrt {{x^2} – 7x + 11} – 3 = 0\end{array}\).
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} – 7x + 11} ,t \ge 0\). Ta có phương trình
\({t^2} + 2t – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = – 3\end{array} \right.\).
Advertisements (Quảng cáo)
So với điều kiện chọn nghiệm t = 1.
Vây: \(\sqrt {{x^2} – 7 + 11} = 1 \)
\(\Leftrightarrow {x^2} – 7x + 10 = 0 \)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).
Phương trình có hai nghiệm \(x = 2\) và \(x = 5.\)
Advertisements (Quảng cáo)
2.
Ta có: \(2{x^2} – 3x + 2 = 2\left( {{x^2} – \dfrac{3}{2}x + 1} \right) \)\(\;= 2\left[ {{{\left( {x – \dfrac{3}{4}} \right)}^2} + \dfrac{7}{{16}}} \right] > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Do đó: \( – 1 \le \dfrac{{{x^2} + 5x + m}}{{2{x^2} – 3x + 2}} < 7\)
\(\Leftrightarrow – \left( {2{x^2} – 3x + 2} \right) \le {x^2} + 5x + m < 7\left( {2{x^2} – 3x + 2} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{x^2} + 2x + m + 2 \ge 0\\13{x^2} – 26x + 14 – m > 0\end{array} \right.\)
Hệ bất phương trình trên đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\Delta _1′ \le 0\\\Delta _2′ < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 – 3\left( {m + 2} \right) \le 0\\169 – 13\left( {14 – m} \right) < 0\end{array} \right.\\{\rm{ }} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge – \dfrac{5}{3}\\m < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow – \dfrac{5}{3} \le m < 1.\end{array}\)
Vậy \(m \in \left[ { – \dfrac{5}{2};1} \right)\).
