1.. Giải bất phương trình \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x + 4}} \le \dfrac{3}{{x + 3}}\) .
2. Xác định các giá trị của tham số m để bất phương trình sau vô nghiệm \(\left( {m + 2} \right){x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + 4 < 0\)
Ta có:
\(\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x + 4}} \le \dfrac{3}{{x + 3}}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{{x + 4}} – \dfrac{3}{{x + 3}} \le 0\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right) + 2x\left( {x + 3} \right) – 3x\left( {x + 4} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} \le 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{x + 12}}{{x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} \le 0\)
Bảng xét dấu
Bất phương trình có nghiệm \(x \in \left[ { – 12; – 4} \right) \cup \left( { – 3;0} \right)\).
Advertisements (Quảng cáo)
2. Bất phương trình (1) cô nghiệm tức là:
\(\left( {m + 2} \right){x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x + 4 \ge 0\) (2) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\)
+) Nếu \(m = -2\) thì bất phương trình (2) trở thành \(6x + 4 \ge 0\), không đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
+) Nếu \(m \ne – 2\) thì bất phương trình (2) đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ‘ \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\{\left( {m – 1} \right)^2} – 4\left( {m + 2} \right) \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 > 0\\{m^2} – 6m – 7 \le 0\end{array} \right.\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > – 2\\m \le – 1{\rm{ \text{ hoặc } m}} \ge {\rm{7}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow – 2 < m \le – 1{\rm{ \text{ hoặc } m}} \ge {\rm{7}}\end{array}\)
Vậy \(m \in \left( { – 2; – 1} \right] \cup \left[ {7; + \infty } \right)\).
