Bài 9: a) Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 và x2.
Chứng minh rằng: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)
b) Áp dụng : phân tích các đa thức sau thành nhân tử
\(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }} – 2{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}4;\)
\(g\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {\sqrt 2 {\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}2\left( {\sqrt 2 + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}2\)
a) Áp dụng định lý Vi-ét, ta có:
\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = – {b \over a} \hfill \cr
{x_1}.{x_2} = {c \over a} \hfill \cr} \right.\)
Do đó:
\(\eqalign{
& a{x^2} + {\rm{ }}bx + c = 0 = a({x^2} + {b \over a}x + {c \over a}) \cr&= a{\rm{[}}{{{x}}^2} – ({x_1} + {x_2})x + {x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr
& = a{\rm{[x(x}}\,{\rm{ – }}\,{{\rm{x}}_1}) – {x_2}(x\, – \,{x_1}){\rm{]}} = a(x – {x_1})(x – {x_2}) \cr} \)
b) Ta có:
\(f(x) = – 2{x^2} – 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 4 \hfill \cr
x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Do đó: \(f(x) = – 2(x + 4)(x – {1 \over 2}) = (x + 4)(1 – 2x)\)
Ta có:
\(\eqalign{
& g(x) = (\sqrt 2 + 1){x^2} – 2(\sqrt 2 + 1)x + 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \sqrt 2 \hfill \cr
x = {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 + 1}} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Do đó: \(g(x) = (\sqrt 2 + 1)(x – \sqrt 2 )(x – {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 + 1}}) \)
\(= (x – \sqrt 2 ){\rm{[}}(\sqrt 2 + 1)x\, – \sqrt 2 {\rm{]}}\)
Bài 10: Không giải phương trình x2 – 2x – 15 = 0, hãy tính:
a) Tổng các bình phương hai nghiệm của nó.
b) Tổng các lập phương hai nghiệm của nó.
c) Tổng các lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó.
\(x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} – 2x_1^2x_2^2.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vì \(ac = -15 < 0\) nên phương trình có hai nghiệm trái dấu.
Theo định lý Vi-ét, ta có:
\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = – {b \over a} = 2 \hfill \cr
{x_1}{x_2} = {c \over a} = – 15 \hfill \cr} \right.\)
a) Ta có: \(x_1^2 + x_2^2 = {({x_1} + {x_2})^2} – 2{x_1}{x_2} = {2^2} – 2( – 15) = 34\)
b) Ta có:
\(\eqalign{
& x_1^3 + x_2^3 = ({x_1} + {x_2})(x_1^2 + x_2^2 – {x_1}{x_2}) \cr
& = ({x_1} + {x_2}){\rm{[}}{({x_1} + {x_2})^2} – 3{x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr&= 2(4 – 3.(-15)) = 98 \cr} \)
c) Ta có:
\(x_1^4 + x_2^4 = {(x_1^2 + x_2^2)^2} – 2x_1^2x_2^2\)
\(= {34^2} – 2( – 15)^2 = 706\)
Bài 11: Trong các khẳng định sau đây, có duy nhất một khẳng định đúng. Hãy chọn khẳng định đúng đó
Phương trình \((\sqrt 3 – 1){x^4} + {x^2} + 2(1 – \sqrt 3 ) = 0\)
(A) Vô nghiệm
Advertisements (Quảng cáo)
(B) Có hai nghiệm \(x = \pm {1 \over 2}\sqrt {(1 + \sqrt 3 )(\sqrt {33 – 16\sqrt 3 } – 1)} \)
(C) Có bốn nghiệm \(x = \pm {1 \over 2}\sqrt {(1 + \sqrt 3 )(\sqrt {33 – 16\sqrt 3 } – 1)} \) và \(x = \pm \sqrt 3 \)
(D) Có hai nghiệm \(x = \pm \sqrt 3 \)
Đặt y = x2
Phương trình bậc hai tương ứng có ac < 0 nên nó có hai nghiệm trái dấu,
Suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm đối nhau.
Từ đó, ta loại các phươn án (A) và (C). Phương án (D) cũng bị loại bằng cách thử trực tiếp.
Chọn (B).
Bài 12: Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số):
a) 2(m + 1)x – m(x – 1) = 2m + 3;
b) m2(x – 1) + 3mx = (m2 + 3)x – 1;
c) 3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1);
d) m2x + 6 = 4x + 3m.
a) 2(m + 1)x – m(x – 1) = 2m + 3;
⇔ (2m + 2)x – mx = 2m + 3 – m
⇔ (m + 2)x = m + 3
+ Nếu m ≠ -2 thì phương trình có nghiệm \(x = {{m + 3} \over {m + 2}}\)
+ Nếu m = – 2 thì 0x = 1 phương trình vô nghiệm
b) m2(x – 1) + 3mx = (m2 + 3)x – 1
⇔ m2x – m2 + 3mx = m2x + 3x – 1
⇔ 3(m – 1)x = m2 – 1
+ Nếu m ≠ 1 thì phương trình có nghiệm: \(x = {{{m^2} – 1} \over {3(m – 1)}} = {{m + 1} \over 3}\)
+ Nếu m = 1 thì 0x = 0. Phương trình có tập nghiệm \(S =\mathbb R\)
c) 3(m + 1)x + 4 = 2x + 5(m + 1)
⇔ (3m + 1)x = 5m + 1
+ Nếu m ≠ \( – {1 \over 3}\) thì phương trình có nghiệm \(x = {{5m + 1} \over {3m + 1}}\)
+ Nếu m = \( – {1 \over 3}\) thì \(0x = – {2 \over 3}\) , phương trình vô nghiệm
d) m2x + 6 = 4x + 3m
⇔ (m2 – 4)x = 3(m – 2)
+ Nếu m2 – 4 ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 2 thì phương trình có nghiệm: \(x = {{3(m – 2)} \over {{m^2} – 4}} = {3 \over {m + 2}}\)
+ Nếu m = 2 thì 0x = 0, ta có \(S =\mathbb R\)
+ Nếu m = -2 thì 0x = -12; S = Ø
