Bài 54: Giải và biện luận phương trình: \(m(mx – 1) = x + 1\)
Ta có:
\(m(mx – 1) = x + 1 ⇔ (m^2– 1)x = m + 1\)
+ Nếu \(m ≠ ± 1\) thì phương trình có nghiệm:
\(x = {{m + 1} \over {{m^2} – 1}} = {1 \over {m – 1}};\,\,\,S = {\rm{\{ }}{1 \over {m – 1}}{\rm{\} }}\)
+ Nếu \(m = 1\) thì (1) thành \(0x = 2; S = Ø\)
+ Nếu \(m = -1\) thì (1) thành \(0x = 0; S =\mathbb R\)
Bài 55: Cho phương trình \(p(x + 1) – 2x = {p^2} + p – 4\). Tìm các giá trị của p để:
a) Phương trình nhận 1 làm nghiệm;
b) Phương trình có nghiệm;
c) Phương trình vô nghiệm.
a) \(x = 1\) là nghiệm phương trình:
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2p – 2 = {p^2} + p – 4 \Leftrightarrow {p^2} – p – 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
p = – 1 \hfill \cr
p = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Ta có: \(p(x + 1) – 2x ={p^2}+ p – 4 ⇔ (p – 2)x ={p^2}– 4\)
+ Nếu \(p ≠ 2\): phương trình có nghiệm \(x = p + 2\)
+ Nếu \(p = 2\): phương trình có vô số nghiệm
Vậy với mọi p, phương trình luôn có nghiệm
c) Theo b) ta thấy: không có p nào thỏa mãn để phương trình vô nghiệm.
Bài 56: Ba cạnh của một tam giác vuông có độ dài là 3 số tự nhiên liên tiếp. Tính độ dài của chúng.
Gọi độ dài ngắn nhất là x ( điều kiện x nguyên dương)
Advertisements (Quảng cáo)
Theo giả thiết, độ dài của hai cạnh kia là x + 1 và x + 2, trong đó cạnh huyền dài x + 2
Theo định lý Py-ta-go, ta có phương trình:
\({x^2} + {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2}\)
Phương trình này tương đương với:
\({x^2} – 2x – 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = – 1\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr
x = 3\,\,\,\,\,\,(\text{thỏa mãn} )\hfill \cr} \right.\)
Vậy độ dài của các cạnh của tam giác vuông là 3, 4 và 5.
Bài 57: Cho phương trình \((m – 1)x^2+ 2x – 1 = 0\)
a) Giải và biện luận phương trình.
b) Tìm các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm khác dấu.
c) Tìm các giá trị của m sao cho tổng bình phương hai nghiệm của nó bằng 1.
a) Với \(m = -1\), phương trình có nghiệm là \(x = {1 \over 2}\)
Với \(m ≠ 1\), ta có: \(Δ’ = 1 + m – 1 = m\)
Với m < 0, S = Ø
Với m = 0; S = {1}
Với m > 0; \(S = {\rm{\{ }}{{ – 1 – \sqrt m } \over {m – 1}};\,{{ – 1 + \sqrt m } \over {m – 1}}{\rm{\} }}\)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu: \( \Leftrightarrow P < 0 \Leftrightarrow – {1 \over {m – 1}} < 0 \Leftrightarrow m > 1\)
c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm: \(1 ≠ m > 0\)
Theo định lý Vi-ét:
\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = – {2 \over {m – 1}} \hfill \cr
{x_1}{x_2} = – {1 \over {m – 1}} \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& x_1^2 + x_2^2 = 1 \Leftrightarrow {({x_1} + {x_2})^2} – 2{x_1}{x_2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow {4 \over {{{(m – 1)}^2}}} + {2 \over {m – 1}} = 1\cr& \Leftrightarrow 4 + 2(m – 1) = {(m – 1)^2} \cr
& \Leftrightarrow {m^2} – 4m – 1 = 0\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 2 – \sqrt 5 \,\,\,\,(\text{loại}) \hfill \cr
m = 2 + \sqrt 5 \,\,\,\,,(\text{thỏa mãn}) \hfill \cr} \right. \cr} \)
