Bài 45: Giải các hệ phương trình
a)
\(\left\{ \matrix{
x – y = 2 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 164 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} – 5xy + {y^2} = 7 \hfill \cr
2x + y = 1 \hfill \cr} \right.\)
a) Từ phương trình thứ nhất của hệ, suy ra \(y = x – 2\)
Thay vào phương trình thứ hai ta được:
\(\eqalign{
& {x^2} + {(x – 2)^2} = 164 \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} – 4x + 4 = 164 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – 2x – 80 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 10 \hfill \cr
x = – 8 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Với \(x = 10 ⇒ y = 8\)
Với \(x = -8 ⇒ y = -10\)
b) Thay \(y = 1 – 2x\) vào phương trình thứ nhất của hệ ta được:
\(\eqalign{
& {x^2} – 5x(1 – 2x) + {(1 – 2x)^2} = 7 \cr
& \Leftrightarrow 15{x^2} – 9x – 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = – {2 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Với \(x = 1 ⇒ y = -1\)
Với \(x = – {2 \over 3} \Rightarrow y = {9 \over 5}\)
Bài 46: Giải các hệ phương trình
a)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr
xy + x + y = 5 \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
b)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} + {y^2} – x + y = 2 \hfill \cr
xy + x – y = – 1 \hfill \cr} \right.\)
c)
\(\left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2y \hfill \cr
{y^2} – 3y = 2x \hfill \cr} \right.\)
a) Đặt S = x + y; P = xy, ta có hệ:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
S + P = 5 \hfill \cr
{S^2} – 2P + S = 8 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 – S \hfill \cr
{S^2} – 2(5 – S) + S = 8 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
P = 5 – S \hfill \cr
{S^2} – 3S – 18 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 3 \hfill \cr
P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = – 6 \hfill \cr
P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)
i) Với S = 3, P = 2 thì x, y là nghiệm của phương trình:
\({x^2} – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm (1, 2); (2, 1)
ii) Với S = -6, P = 11 thì hệ phương trình vô nghiệm vì:
S2 – 4P = 36 – 44 = -8 < 0
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy phương trình có hai nghiệm (1, 2); (2, 1)
b) Đặt x’ = -x, ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
x{‘^2} + {y^2} + x’ + y = 2 \hfill \cr
– x’y – x’ – y = – 1 \hfill \cr} \right.\)
Đặt S = x’ + y; P = x’y, ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{S^2} – 2P + S = 2 \hfill \cr
S + P = 1 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + S – 2(1 – S) = 2 \hfill \cr
P = 1 – S \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{S^2} + 3S – 4 = 0 \hfill \cr
P = 1 – S \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
S = 1 \hfill \cr
P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
S = – 4 \hfill \cr
P = 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Nếu S =1, P = 0 thì x’, y là nghiệm phương trình:
\({X^2} – X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
X = 0 \hfill \cr
X = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x’ = 0 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x’ = 1 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
Ta có nghiệm (0, 1) và (-1, 0)
+) Với S = -4, P = 5 thì hệ phương trình vô nghiệm vì S2 – 4P < 0
c) Trừ từng vế của hai phương trình ta được:
x2 – y2 – 3x + 3y = 2y – 2x
⇔ (x – y)(x + y) – (x – y) = 0
⇔ (x – y)(x + y – 1) = 0
⇔ x – y = 0 hoặc x + y – 1 = 0
Vậy hệ đã cho tương ứng với:
\(\left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2y \hfill \cr
x – y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I) \hfill \cr
\left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2y \hfill \cr
x + y – 1 = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(II) \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\((I)\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2y \hfill \cr
x – y = 0 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x(x – 5) = 0 \hfill \cr
x = y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = y = 0 \hfill \cr
x = y = 5 \hfill \cr} \right.\)
\((II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 3x = 2(1 – x) \hfill \cr
y = 1 – x \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – x – 2 = 0 \hfill \cr
y = 1 – x \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = – 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có bốn nghiệm là : \((0, 0); (5, 5); (-1, 2); (2, -1)\)
Bài 47: Tìm quan hệ giữa S và P để hệ phương trình sau có nghiệm :
\(\left\{ \matrix{
x + y = S \hfill \cr
xy = P \hfill \cr} \right.\)
(S và P là hai số cho trước)
\(x, y\) là nghiệm của phương trình: \(X^2– SX + P = 0 \;\;(1)\)
(1) có nghiệm \(⇔ Δ = S^2– 4P ≥ 0\)
