Bài 1: Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số)
a) \((2\sin {30^0} + \cos {135^0} – 3\tan {150^0})(\cos {180^0} – \cot {60^0})\)
b) \({\sin ^2}{90^0} + {\cos ^2}{120^0} + {\cos ^2}{0^0} – {\tan ^2}{60^0} + {\cot ^2}{135^0}\).
a) Ta có
\(\eqalign{
& \cos {135^0} = \cos ({180^0} – {45^0}) = – \cos {45^0} = – {{\sqrt 2 } \over 2} \cr
& \tan {150^0} = \tan ({180^0} – {30^0}) = – \tan {30^0} = – {{\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)
Do đó
\(\eqalign{
& (2\sin {30^0} + \cos {135^0} – 3\tan {150^0})(\cos {180^0} – \cot {60^0}) \cr
& = \left( {1 – {{\sqrt 2 } \over 2} + \sqrt 3 } \right)\,\left( { – 1 – {{\sqrt 3 } \over 3}} \right) = \left( {{{\sqrt 2 } \over 2} – \sqrt 3 – 1} \right)\left( {1 + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right) \cr}.\)
b) Ta có
\(\eqalign{
& \cos {120^0} = \cos ({180^0} – {60^0}) = – \cos {60^0} = – {1 \over 2} \cr
& \cot {135^0} = \cot ({180^0} – {45^0}) = – \cot {45^0} = – 1 \cr} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Do đó
\(\eqalign{
& {\sin ^2}{90^0} + {\cos ^2}{120^0} + {\cos ^2}{0^0} – {\tan ^2}{60^0} + {\cot ^2}{135^0} \cr
& = 1 + {1 \over 4} + 1 – 3 + 1 = {1 \over 4} \cr} \)
Bài 2: Đơn giản các biểu thức
a) \(\sin {100^0} + \sin {80^0} + \cos {16^0} + \cos {164^0}\);
b) \(2\sin ({180^0} – \alpha )\cot \alpha – \cos ({180^0} – \alpha )\tan \alpha \cot ({180^0} – \alpha )\) với \({0^0} < \alpha < {90^0}\).
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có
\(\eqalign{
& \sin {100^0} = \sin ({180^0} – {80^0}) = \sin {80^0}\,\,\,;\,\,\,\,\cos {164^0} = \cos ({180^0} – {16^0}) = – \cos {16^0} \cr
& \Rightarrow \,\,\,\,\sin {100^0} + \sin {80^0} + \cos {16^0} + \cos {164^0} \cr
& \,\,\,\,\, = \,\sin {80^0} + \sin {80^0} + \cos {16^0} – \cos {16^0} \cr
& \,\,\,\,\, = 2\sin {80^0}. \cr} \)
b) Ta có
\(\eqalign{
& \,\,\,\,2\sin ({180^0} – \alpha )\cot \alpha – \cos ({180^0} – \alpha )\tan \alpha \cot ({180^0} – \alpha ) \cr
& = 2\sin \alpha {{\cos \alpha } \over {\sin \alpha }} – \cos \alpha {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }}{{\cos \alpha } \over {\sin \alpha }} \cr
& = 2\cos \alpha – \cos \alpha \cr
& = \cos \alpha . \cr} \)
Bài 3: Chứng minh các hệ thức sau
a) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\);
b) \(1 + {\tan ^2}\alpha = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,(\alpha \ne {90^0})\);
c) \(1 + {\cot ^2}\alpha = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,\,\,\,\,({0^0} < \alpha < {180^0})\).
a) Giả sử \(M\,(x\,;\,y)\) trên đường tròn đơn vị, \(\widehat {MOx} = \alpha \). Ta có
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = {x^2} + {y^2} = O{M^2} = 1.\)
b) \(1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {{{{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\cos }^2}\alpha }}\,\) .
c) \(1 + {\cot ^2}\alpha = 1 + {{{{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {1 \over {{{\sin }^2}\alpha }}\,\).
