Bài 1: Xét vị trí tương đối của các đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau
a) \({\Delta _1}:3x – 2y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:2x + 3y – 5 = 0;\)
b)
\({\Delta _1}:\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = – 1 + t \hfill \cr} \right.\)
và
\({\Delta _2}:\left\{ \matrix{
x = 7-{4t’} \hfill \cr
y = 5-{2 t’} \hfill \cr} \right.\)
c)
\({\Delta _1}:\left\{ \matrix{
x = 3 + 4t \hfill \cr
y = – 2 – 5t \hfill \cr} \right.\)
và \({\Delta _2}:5x + 4y – 7 = 0.\)
a) Ta có \({3 \over 2} \ne \, – {2 \over 3}\) nên \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) cắt nhau.
b) Phương trình tổng quát của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là
\(\eqalign{
& {\Delta _1}\,\,:\,\,x – 2y – 6 = 0 \cr
& {\Delta _2}\,\,:\,x – 2y + 3 = 0 \cr} \)
Ta có \({1 \over 1} = {{ – 2} \over { – 2}} \ne {{ – 6} \over 3}\) nên \({\Delta _1}\) // \({\Delta _1}\)
c) Phương trình tổng quát của \({\Delta _1}\) là \(5x + 4y – 7 = 0\) . Do đó \({\Delta _1} \equiv {\Delta _2}\)
Bài 2: Cho đường thẳng \(\Delta :3x – 4y + 2 = 0.\)
a) Viết phương trình của Δ dưới dạng tham số.
b) Viết phương trình của Δ dưới dạng phương trình theo đoạn chắn.
c) Tính khoảng cách từ mỗi điểm \(M(3;5),N( – 4;0),P(2;1)\) tới Δ và xét xem đường thẳng cắt cạnh nào của tam giác MNP.
d) Tính góc hợp bởi Δ và mỗi trục tọa độ.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Δ có vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = (3\,;\, – 4)\)nên có vec tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {4;3} \right)\).
Δ đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,{1 \over 2}} \right)\) . Vậy Δ có phương trình tham số là
\(\left\{ \matrix{
x = 4t \hfill \cr
y = {1 \over 2} + 3t \hfill \cr} \right.\)
b) Ta có
\(3x – 4y + 2 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,3x – 4y = – 2\)
\(\Leftrightarrow \,\,{x \over { – {2 \over 3}}} + {y \over {{1 \over 2}}} = 1\)
c) Ta có
\(\eqalign{
& d(\,M\,;\,\Delta ) = {{|3.3 – 4.5 + 2|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {9 \over 5} \cr
& d(\,N\,;\,\Delta ) = {{| – 12 + 2|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {{10} \over 5} = 2 \cr
& d(\,P\,;\,\Delta ) = {{|6 – 4 + 2|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {4 \over 5} \cr} \)
M và N cùng phía đối với đường thẳng Δ còn P nằm khác phía nên Δ không cắt MN, Δ cắt MP và NP.
d) Đường thẳng Ox có phương trình y = 0, α là góc giữa α với Ox thì
\(\cos \alpha = {{|3.0 – 4.1|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = {4 \over 5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\alpha \approx {36^0}52’\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình đường thẳng Oy là x = 0, \(\beta \) là góc giữa Δ với Oy ta có
\(\cos \beta = {{|3.1 – 4.0|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = {3 \over 5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\beta \approx {53^0}7’\)
Bài 3: Cho đường thẳng \(d:x – y + 2 = 0\) và điểm A(2, 0)
a) Với điều kiện nào của x và y thì điểm M(x, y) thuộc nửa mặt phẳng có bờ d và chứa gốc tọa độ O? Chứng minh điểm A nằm trong nửa mặt phẳng đó.
b) Tìm điểm đối xứng với điểm O qua đường thẳng d.
c) Tìm điểm M trên d sao cho chu vi tam giác OMA nhỏ nhất.
a) Điểm M và O nằm cùng phía đối với d khi và chỉ khi
\((x – y + 2).(0 – 0 + 2) > 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x – y + 2 > 0\)
Ta có : \({x_A} – {y_A} + 2 = 2 – 0 + 2 = 4 > 0\) , do đó A nằm trong nửa mặt phẳng có bờ là d và chứa O.
b) Gọi d’ là đường thẳng qua O và vuông góc với d thì phương trình tổng quát của d’ là \(d’: x+y=0\). Gọi H là hình chiếu của O lên d thì tọa độ H là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{
x – y = – 2 \hfill \cr
x + y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = – 1 \hfill \cr
y = 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(H(-1, 1)\)
Gọi O’ là điểm đối xứng của O qua d thì H là trung điểm của OO’ do đó
\(\left\{ \matrix{
{x_H} = {{{x_O} + {x_{O’}}} \over 2} \hfill \cr
{y_H} = {{{y_O} + {y_{O’}}} \over 2} \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \matrix{
{x_{O’}} = 2{x_H} – {x_O} = – 2 \hfill \cr
{y_{O’}} = 2{y_H} – {y_O} = 2 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(O'(-2, 2)\)
c) OA không đổi nên chu vi tam giác AMO nhỏ nhất khi tổng MO+MA nhỏ nhất.
Ta có: \(MO = MO’\Rightarrow \,\,\,MO + MA = MO’ + MA \ge \,AO’\)
\( \Rightarrow \,\,MO + MA\) nhỏ nhất khi A, M, O’ thẳng hàng , khi đó M là giao điểm của d với đường thẳng O’A.
Phương trình O’A :
\(\eqalign{
& {{x – {x_A}} \over {{x_{O’}} – {x_A}}} = {{y – {y_A}} \over {{y_{O’}} – {y_A}}} \cr
& {{x – 2} \over { – 2 – 2}} = {{y – 0} \over {2 – 0}}\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x + 2y – 2 = 0 \cr} \)
Tọa độ M là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{
x – y = – 2 \hfill \cr
x + 2y = 2 \hfill \cr} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = – {2 \over 3} \hfill \cr
y = {4 \over 3} \hfill \cr} \right.\,\,\)
Vậy \(M\left( { – {2 \over 3}\,;\,{4 \over 3}} \right)\)
Bài 4: Cho đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) và điểm \(I({x_0};{y_0}).\)Viết phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng Δ qua I.
Đường thẳng Δ’ đối xứng với đường thẳng Δ qua I thì Δ // Δ’ do đó phương trình tổng quát của Δ’ có dạng \(ax + by + c’ = 0\,\,(c’ \ne c)\).Ta có
Loại trường hợp \(c=c’\).
Vậy \(\Delta ‘\,\,:ax + by – c – 2(a{x_o} + b{y_o} + c) = 0\)
