Bài 19 : Giải phương trình x2 + (4m + 1)x + 2(m – 4) = 0, biết rằng nó có hai nghiệm và hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ bằng 17.
Ta có:
Δ = (4m + 1)2 – 8( m – 4) = 16m2 + 33 > 0; ∀m
Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
x1 + x2 = – 4m – 1; x1x2 = 2(m – 4) (x1 > x2)
Ta có:
x1 – x2 = 17 ⇔ (x1 – x2)2 = 289
⇔ (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 289
⇔ (4m + 1)2 – 8(m – 4) = 289
⇔ 16m2 + 33 = 289
⇔ m = ± 4
+) Với m = 4 phương trình có 2 nghiệm:
\(\eqalign{
& {x_1} = {{ – 17 – \sqrt {289} } \over 2} = – 17 \cr
& {x_2} = {{ – 17 + \sqrt {289} } \over 2} = 0 \cr} \)
+) Với m = -4 phương trình có 2 nghiệm:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\eqalign{
& {x_1} = {{15 – \sqrt {289} } \over 2} = – 1 \cr
& {x_2} = {{15 + \sqrt {289} } \over 2} = 16 \cr} \)
Bài 20: Không giải phương trình, hãy xét xem mỗi phương trình trùng phương sau có bao nhiêu nghiệm
a) x4 + 8x2 + 12 = 0;
b) -1,5x4 – 2,6x2 + 1 = 0;
c) \((1 – \sqrt 2 ){x^4} + 2{x^2} + 1 – \sqrt 2 = 0\)
d) \( – {x^4} + (\sqrt 3 – \sqrt 2 ){x^2} = 0\)
a) x4 + 8x2 + 12 = 0
Ta có: Δ’ = 4 > 0; S = -8 < 0; P = 12 > 0
Phương trình t2 + 8t + 12 = 0 có hai nghiệm âm nên phương trình trùng phương đã cho vô nghiệm.
Advertisements (Quảng cáo)
b) Ta có: ac < 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm đối nhau.
c) Ta có: Δ’ = 1 + (1 – 2) = 0
\(\left\{ \matrix{
S = {2 \over {\sqrt 2 – 1}} > 0 \hfill \cr
P = {{1 – \sqrt 2 } \over {1-\sqrt 2 }} > 0 \hfill \cr} \right.\)
⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm đối nhau,
d) Phương trình \( – {t^2} + (\sqrt 3 – \sqrt 2 )t = 0\) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương nên phương trình trùng phương có 3 nghiệm
Bài 21: Cho phương trình: kx2 – 2(k + l)x + k + 1 = 0.
a) Tìm k để phương trình trên có ít nhất một nghiệm dương.
b) Tìm các giá trị của k để phương trình trên có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1
( đặt x= y + 1).
a) Với k = 0 ta có: -2x + 1 = 0 \( \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\) (nhận)
Với k ≠ 0, ta có: Δ’ = (k + 1)2 – k(k + 1) = k + 1
Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi P < 0 hoặc phương trình có hai nghiệm dương hoặc phương trình có một nghiệm bằng 0 và nghiệm kia dương.
+ Trường hợp 1: P < 0 ⇔ k(k + 1) < 0 ⇔ -1 < k < 0
+ Trường hợp 2:
\(\left\{ \matrix{
\Delta \ge 0 \hfill \cr
S > 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k + 1 \ge 0 \hfill \cr
{{2(k + 1)} \over k} > 0 \Leftrightarrow k > 0 \hfill \cr
{{k + 1} \over k} > 0 \hfill \cr} \right.\)
+ Trường hợp 3: x = 0 là nghiệm ⇒ k = -1
Khi đó, phương trình trở thành –x2 = 0 ⇔ x = 0
Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi k > -1
b) Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm thỏa mãn:
\(\eqalign{
&{x_1} < 1 < {x_2} \Leftrightarrow {x_1} – 1 < 0 < {x_2} – 1 \cr
& \Leftrightarrow ({x_1} – 1)({x_2} – 1) < 0 \cr&\Leftrightarrow {x_1}{x_2} – ({x_1} + {x_2}) + 1 < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{k + 1} \over k} – {{2(k + 1)} \over k} + 1 < 0\cr& \Leftrightarrow {{k + 1 – 2k – 2 + k} \over k} < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{ – 1} \over k} < 0 \Leftrightarrow k > 0 \cr} \)
Ta thấy rằng k > 0 thỏa mãn \(Δ = k + 1 > 0\)
Vậy giá trị k cần tìm là k > 0
