Bài 16: Giải và biện luận các phương trình sau (m và k là tham số),
a) (m – 1)x2 + 7x – 12 = 0;
b) mx2 – 2(m + 3)x + m + 1 = 0;
c) [(k + 1)x – 1](x – 1) = 0;
d) (mx – 2)(2mx – x + 1) = 0.
a) (m – 1)x2 + 7x – 12 = 0
– Với m = 1, phương trình trở thành: \(7x – 12 = 0 \Leftrightarrow x = {{12} \over 7}\)
– Với m ≠ -1, ta có: Δ = 72 + 48(m – 1) = 48m + 1
+ \( Δ < 0 ⇔m < – {1 \over {48}}\) phương trình vô nghiệm
+ \(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – {1 \over {48}}\) thì phương trình có hai nghiệm:\(x = {{ – 7 \pm \sqrt {48m + 1} } \over {2(m – 1)}}\)
b) mx2 – 2(m + 3)x + m + 1 = 0
+ Với m = 0, phương trình trở thành: \( – 6x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 6}\)
+ Với m ≠ 0. Ta có: Δ’ = (m + 3)2 – m(m + 1) = 5m + 9
\(\Delta < 0 \Leftrightarrow m < – {9 \over 5}\) phương trình vô nghiệm
\(\Delta \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – {9 \over 5}\) , phương trình có hai nghiệm: \(x = {{m + 3 \pm \sqrt {5m + 9} } \over m}\)
Advertisements (Quảng cáo)
c) Ta có:
\({\rm{[(k + 1)x}}\,\, – 1{\rm{]}}(x\, – 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
(k + 1)x = 1\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr} \right.\)
+ Nếu k = -1 thì (1) vô nghiệm. Do đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1
+ Nếu k ≠ 1 thì (1) có nghiệm \(x = {1 \over {k + 1}}\)
Ta có: \({1 \over {k + 1}} = 1 \Leftrightarrow k = 0\) .
Do đó:
i) k = 0; S = {1}
ii) k ≠ 0 và k ≠ -1: \(S = {\rm{\{ }}1,\,{1 \over {k + 1}}{\rm{\} }}\)
iii) k = -1: S = {1}
Advertisements (Quảng cáo)
d) Ta có:
\((mx – 2)(2mx – x + 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx = 2 \hfill \cr
(2m – 1)x = – 1 \hfill \cr} \right.\)
+ Nếu m = 0 thì x = 1
+ Nếu m = \({1 \over 2}\) thì x = 4
+ Nếu m ≠ 0 và m ≠ \({1 \over 2}\) thì phương trình có hai nghiệm là: \(x = {2 \over m};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = {1 \over {1 – 2m}}\)
Bài 17: Biện luận số giao điểm của hai parabol y = -x2 – 2x + 3 và y = x2 – m theo tham số m.
Phương trình hoành độ giao điểm của hai parabol là:
\({x^2}-m = – {x^2}-2x + 3 \)
\(\Leftrightarrow 2{x^2} + 2x-m-3 = 0\) (1)
\(Δ’ = 1 + 2(m + 3) = 2m + 7\)
+ \(\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow m > – {7 \over 2}\) : (1) có hai nghiệm phân biệt, khi đó hai parabol cắt nhau tại hai điểm.
+ \(\Delta ‘ = 0 \Leftrightarrow m = – {7 \over 2}\) : (1) có hai nghiệm kép, khi đó hai parabol có một điểm chung
+ \(\Delta ‘ > 0 \Leftrightarrow x < – {7 \over 2}\): (1) vô nghiệm, khi đó hai parabol không có điểm chung.
Bài 18: Tìm các giá trị của m để phương trình x2 – 4x + m – 1 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn hệ thức x13 + x23 = 40.
Điều kiện để phương trình có nghiệm:
Δ ‘ = 4 – (m – 1) = 5 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 5
Khi đó: x1 + x2 = 4; x1x2 = m – 1
Ta có:
x13 + x23 = 40 ⇔ (x1 +x2)(x12 + x22 – x1x2) = 40
⇔ (x1 + x2)[(x1 + x2)2 – 3x1x2] = 40
⇔4[16 – 3(m – 1)] = 40
⇔ 12m = 36 ⇔ m = 3 (nhận)
