Bài 30: Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Biết rằng phương trình thứ hai trong hệ nghiệm đúng với mọi giá trị của các ẩn. Hãy chọn kết luận đúng trong các khẳng định sau:
(A) Hệ đã cho nghiệm đúng với mọi giá trị của các ẩn;
(B) Hệ đã cho vô nghiệm;
(C) Tập nghiệm của hệ đã cho trùng với tập nghiệm của phương trình thứ nhất;
(D) Không có kết luận gì.
Tập nghiệm của hệ trùng với tập nghiệm của phương trình bậc nhất.
Chọn (C)
Bài 31: Bằng định thức, giải các hệ phương trình sau:
a)
\(\left\{ \matrix{
5x – 4y = 3 \hfill \cr
7x – 9y = 8 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
\sqrt 3 x + \sqrt 2 y = – 1 \hfill \cr
2\sqrt 2 x + \sqrt 3 y = 0 \hfill \cr} \right.\)
a) Ta có:
\(D = \left| \matrix{
5\,\,\,\, – 4 \hfill \cr
7\,\,\,\, – 9 \hfill \cr} \right| = – 45 + 28 = – 17\)
\({D_x} = \left| \matrix{
3\,\,\,\,\,\, – 4 \hfill \cr
8\,\,\,\,\,\, – 9 \hfill \cr} \right| = – 27 + 32 = 5\)
\({D_y} = \left| \matrix{
5\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr
7\,\,\,\,\,\,8 \hfill \cr} \right| = 40 – 21 = 19\)
Hệ có nghiệm:
\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ – 5} \over {17}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = – {{19} \over {17}} \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
b) Ta có:
\(D = \left| \matrix{
\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\sqrt 2 \hfill \cr
2\sqrt 2 \,\,\,\,\sqrt 3 \hfill \cr} \right| = 3 – 4 = – 1\)
\({D_x} = \left| \matrix{
– 1\,\,\,\,\,\,\sqrt 2 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt 3 \hfill \cr} \right| = – \sqrt 3 \)
\({D_y} = \left| \matrix{
\sqrt 3 \,\,\,\,\,\, – 1 \hfill \cr
2\sqrt 2 \,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right| = 2\sqrt 2 \)
Hệ có nghiệm duy nhất:
\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = \sqrt 3 \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = – 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)
Bài 32: Giải các hệ phương trình sau:
a)
\(\left\{ \matrix{
{4 \over x} + {1 \over {y – 1}} = 3 \hfill \cr
{2 \over x} – {2 \over {y – 1}} = 4 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
{{3(x + y)} \over {x – y}} = – 7 \hfill \cr
{{5x – y} \over {y – x}} = {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
a) Điều kiện: \(x ≠ 0\) và \(y ≠ -1\).
Đặt \(X = {1 \over x} ;\,Y = {1 \over {y – 1}}\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
4X + Y = 3 \hfill \cr
2X – 2Y = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
X = 1 \hfill \cr
Y = – 1 \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{1 \over x} = 1 \hfill \cr
{1 \over {y – 1}} = – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = 0 \hfill \cr} \right.\)
Vậy hệ có nghiệm \((1; 0)\)
b) Điều kiện: \(x ≠ y\)
Ta có:
\(\left\{ \matrix{
{{3(x + y)} \over {x – y}} = – 7 \hfill \cr
{{5x – y} \over {y – x}} = {5 \over 3} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3(x + y) = – 7(x – y) \hfill \cr
3(5x – y) = 5(y – x) \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
10x – 4y = 0 \hfill \cr
20x – 8y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {5 \over 2}x\)
Hệ có vô số nghiệm \((x;\,{5 \over 2}x)\) với \(x ∈\mathbb R\) \ {0} (do \(x ≠ y\))
Bài 33: Giải và biện luận các hệ phương trình
a)
\(\left\{ \matrix{
x – my = 0 \hfill \cr
mx – y = m + 1 \hfill \cr} \right.\)
b)
\(\left\{ \matrix{
2ax + 3y = 5 \hfill \cr
(a + 1)x + y = 0 \hfill \cr} \right.\)
Đáp án
a) Ta có:
\(\eqalign{
& D = \left|\matrix{1 \;\;\;\;{ – m} \cr m \;\;\;\; { – 1} \cr} \right| \,\, = {m^2} – 1 \cr& {D_x} = \, \left|\matrix{0 \;\;\;\;\;\;\;{ – m} \cr {m + 1} \;\;\;\;\;{ – 1} \cr} \right| \, = m(m + 1) \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{1 \;\;\;\;\;\;\; 0 \cr m \;\;\;\;\;\;\; {m + 1} \cr} \right| \, = m + 1 \cr} \)
+ Với D ≠ 0 ⇔ m ≠ ± 1 thì hệ có nghiệm duy nhất:
\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{m(m + 1)} \over {{m^2} – 1}} = {m \over {m – 1}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{m + 1} \over {{m^2} – 1}} = {1 \over {m – 1}} \hfill \cr} \right.\)
+ Với D = 0 ⇔ m = ± 1
i) m = 1, ta có Dx = 2 ≠ 0: Hệ phương trình vô nghiệm
ii) m = -1. Hệ trở thành:
\(\left\{ \matrix{
x + y = 0 \hfill \cr
– x – y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = – x\)
Hệ vô số nghiệm (x, -x) với x ∈ R
b) Ta có:
\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{2a} \;\;\;\; \;\;3 \cr
{a + 1} \;\;\;\; 1 \cr}\right|\, = 2a – 3(a + 1) = – (a + 3) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{5 & 3 \cr 0 & 1 \cr}\right| = 5 \cr & {D_y} = \left|\matrix{{2a} \;\;\; \;\;5 \cr {a + 1} \;\;\; 0 \cr}\right|= – 5(a + 1) \cr} \)
+ Nếu a ≠ -3 thì hệ có nghiệm duy nhất:
\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ – 5} \over {a + 3}} \hfill \cr
y = {{{D_y}} \over D} = {{5(a + 1)} \over {a + 3}} \hfill \cr} \right.\)
+ Nếu a = -3 thì hệ vô nghiệm (do D = 0)
