Bài 24: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(M(1; – 2),N(1;2),P(5;2).\)
Phương trình đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0.\)
Do M, N, P thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình với ba ẩn số a, b, c.
\(\left\{ \matrix{
5 + 2a – 4b + c = 0 \hfill \cr
5 + 2a + 4b + c = 0 \hfill \cr
29 + 10a + 4b + c = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = – 3 \hfill \cr
b = 0 \hfill \cr
c = 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình cần tìm là: \({x^2} + {y^2} – 6x + 1 = 0\) hay \({\left( {x – 3} \right)^2} + {y^2} = 8\)
Bài 25: a) Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm
b) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm (1, 1); (1, 4) và tiếp xúc với trục Ox.
a) Vì M(2; 1) nằm trong góc phần tư thứ nhất nên đường tròn cần tìm (C) cũng ở trong góc phần tư thứ nhất.
(C) tiếp xúc với Ox và Oy nên (C) có tâm I (a; a) và bán kính R= a ( a > 0 ).
Do đó (C) có phương trình là: \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – a} \right)^2} = {a^2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vì \(M(2;1)\in(C)\) nên
\(\eqalign{
& {\left( {2 – a} \right)^2} + {\left( {1 – a} \right)^2} = {a^2} \Leftrightarrow {a^2} – 6a + 5 = 0\,\,(C) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr
a = 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Với \(a =1\) ta có (C): \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} = 1.\)
+) Với \(a=5\) ta có \((C):{\left( {x – 5} \right)^2} + {\left( {y – 5} \right)^2} = 25.\)
b) Phương trình đường thẳng Ox: \(y = 0\).
Giả sử: \(I (a; b)\) là tâm của đường tròn cần tìm.
Ta có: \(R = d\left( {I;{\rm{Ox}}} \right) = |b|\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình đường tròn có dạng
\((C):{\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} = {b^2}\)
Vì \(\left( {1;1} \right) \in (C)\) và \(\left( {1;4} \right) \in (C)\) nên ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
{\left( {1 – a} \right)^2} + {\left( {1 – b} \right)^2} = {b^2}\,\,\,(\,1\,) \hfill \cr
{\left( {1 – a} \right)^2} + {\left( {4 – b} \right)^2} = {b^2}\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)
Từ hệ trên ta suy ra: \({\left( {1 – b} \right)^2} = {\left( {4 – b} \right)^2}\)\(\Leftrightarrow b = {5 \over 2}.\)
Thay \(b = {5 \over 2}\) vào (1) ta được: \(a = 3, a = -1\)
Vậy có hai phương trình đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán
\({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – {5 \over 3}} \right)^2} = {{25} \over 4};\)
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – {5 \over 2}} \right)^2} = {{25} \over 4}.\)
Bài 26: Tìm tọa độ các giao điểm của đường thẳng
\(\Delta :\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = – 2 + t \hfill \cr} \right.\)
và đường tròn (C): \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} = 16\)
Thay \(x = 1 + 2t;\,y = – 2 + t\) vào phương trình đường tròn ta được:
\(\eqalign{
& {\left( {2t} \right)^2} + {\left( {t – 4} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow 5{t^2} – 8t = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t = {8 \over 5} \hfill \cr} \right. \cr} \)
+) Với \(t = 0\) ta có \(x = 1, y = -2\) và có giao điểm \(A(1, -2)\)
+) Với \(t = {8 \over 5}\) ta có \(x = {{21} \over 5};\,y = – {2 \over 5}\) và có giao điểm \(B\left( {{{21} \over 5};{{ – 2} \over 5}} \right).\)
