Bài 3.25: Cho đường tròn (C) : \({(x + 1)^2} + {(y – 2)^2} = 9\) và điểm M(2;-1).
a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) với (C), hãy viết phương trình của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).
b) Gọi \({M_1}\) và \({M_2}\) lần lượt là hai tiếp điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) với (C) , hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua \({M_1}\) và \({M_2}\)
a) (C) có tâm I(-1;2) và có bán kính R = 3. Đường thẳng đi qua M(2;-1) và có hệ số góc k có phương trình:
\(y + 1 = k\left( {x – 2} \right) \Leftrightarrow kx – y – 2k – 1 = 0\)
Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với (C) \( \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R\)
\( \Leftrightarrow {{\left| { – k – 2 – 2k – 1} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 3\)
\(\Leftrightarrow \left| {k + 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)
\(\Leftrightarrow {k^2} + 2k + 1 = {k^2} + 1\)
\( \Leftrightarrow k = 0.\)
Vậy ta được tiếp tuyến \({\Delta _1}:y + 1 = 0.\)
Xét đường thẳng \({\Delta _2}\) đo qua M(2;-1) và vuông góc với Ox, \({\Delta _2}\) có phương trình x – 2 = 0. Ta có:
\(d\left( {I;{\Delta _2}} \right) = \left| { – 1 – 2} \right| = 3 = R\)
Suy ra \({\Delta _2}\) tiếp xúc với (C) .
Vậy qua điểm M ta vẽ được hai tiếp tuyến với (C), đó là:
\({\Delta _1}:y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x – 2 = 0\)
b) \({\Delta _1}\) tiếp xúc với (C) tại \({M_1}\left( { – 1; – 1} \right)\)
\({\Delta _2}\) tiếp xúc với (C) tại \({M_2}\left( {2;2} \right)\)
Phương trình của đường thẳng d đi qua \({M_1}\) và \({M_2}\) là: x – y = 0.
Bài 3.26: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} – 8x – 6y = 0\) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua gốc tọa độ O.
Đường tròn (C) :\({x^2} + {y^2} – 8x – 6y = 0\) có tâm I(4;3) và bán kính R = 5.
Cách 1: xét đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ O và có hệ số góc k, \(\Delta\) có phương trình y – kx = 0
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với (C) \(\Leftrightarrow d(I,\Delta ) = R\)
\( \Leftrightarrow {{\left| {3 – 4k} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 5\)
\( \Leftrightarrow {\left( {3 – 4k} \right)^2} = 25({k^2} + 1)\)
\( \Leftrightarrow 9 + 16{k^2} – 24k = 25{k^2} + 25\)
\( \Leftrightarrow 9{k^2} + 24k + 16 = 0\)
\( \Leftrightarrow k = – {4 \over 3}.\)
Vậy ta được phương trình tiếp tuyến là: \(y + {4 \over 3}x = 0\) hay 4x + 3y = 0
Cách 2: Do tọa độ O(0;0) thỏa mãn phương trình của (C) nên điểm O nằm trên (C). Tiếp tuyến với (C) tại O có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \overrightarrow {OI} = (4;3)\)
Suy ra \(\Delta \) có phương trình
4x + 3y = 0.
Bài 3.27: Cho hai đường tròn (C1) : \({x^2} + {y^2} – 6x + 5 = 0\)
và (C2) : \({x^2} + {y^2} – 12x – 6y + 44 = 0\)
a) Tìm tâm và bán kính của (C 1) và (C 2) .
b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C 1) và (C 2).
Advertisements (Quảng cáo)
a) (C 1) có tâm có bán kính \({R_1} = 2\);
(C 2) có tâm có bán kính \({R_2} = 1\).
b) Xét đường thẳng \(\Delta \) có phương trình:
\(y = kx + m\) hay \(kx – y + m = 0\). Ta có:
\(\Delta\) tiếp xúc vơi (C 1) và (C 2) khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
d({I_1},\Delta ) = {R_1} \hfill \cr
d({I_2},\Delta ) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{\left| {3k + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2(1) \hfill \cr
{{\left| {6k – 3 + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1.(2) \hfill \cr} \right.\)
Từ (1) và (2) suy ra
\(\left| {3k + m} \right| = 2\left| {6k – 3 + m} \right|\)
Trường hợp 1: \(3k + m = 2(6k – 3 + m) \Leftrightarrow m = 6 – 9k\) (3)
Thay vào (2) ta được
\(\left| {6k – 3 + 6 – 9k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {3 – 3k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)
\( \Leftrightarrow 9 – 18k + 9{k^2} = {k^2} + 1\)
\( \Leftrightarrow 8{k^2} – 18k + 8 = 0\)
\(\Leftrightarrow 4{k^2} – 9k + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{k_1} = {{9 + \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr
{k_2} = {{9 – \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr} \right.\)
Thay giá trị của k vào (3) ta tính được
\(\left[ \matrix{
{k_1} = 6 – 9{k_1} \hfill \cr
{k_2} = 6 – 9{k_2} \hfill \cr} \right.\)
Vậy ta được hai tiếp tuyến
\({\Delta _1}:y = {k_1}x + 6 – 9{k_1};\)
\({\Delta _2}:y = {k_2}x + 6 – 9{k_2}.\)
Trường hợp 2:
\(\eqalign{
& 3k + m = – 2(6k – 3 + m) \cr
& \Leftrightarrow 3m = 6 – 15k \cr} \)
\( \Leftrightarrow m = 2 – 5k\) (4)
Thay vào (2) ta được
\(\left| {6k – 3 + 2 – 5k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \Leftrightarrow \left| {k – 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)
\( \Leftrightarrow {(k – 1)^2} = {k^2} + 1\)
\(\Leftrightarrow {k^2} – 2k + 1 = {k^2} + 1\)
\( \Leftrightarrow k = 0.\)
Thay giá trị của k vào (4) ta được m = 2.
Vậy ta được tiếp tuyến
\({\Delta _3}:y = 2.\)
Xét đường thẳng \({\Delta _4}\) vuông góc với Ox tại \({x_0}\):
\({\Delta _4}:x – {x_0} = 0.\)
\({\Delta _4}\) tiếp xúc vơi (C 1) và (C 2) khi và chỉ khi
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
d({I_1},{\Delta _4}) = {R_1} \hfill \cr
d({I_2},{\Delta _4}) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left| {3 – {x_0}} \right| = 2 \hfill \cr
\left| {6 – {x_0}} \right| = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_0} = 1 \vee {x_0} = 5 \hfill \cr
{x_0} = 5 \vee {x_0} = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 5. \cr} \)
Vậy ta được tiếp tuyến: \({\Delta _4}:x – 5 = 0\)
Tóm lại hai đường tròn (C 1) và (C 2) có bốn tiếp tuyến chung \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\), \({\Delta _3}\) và \({\Delta _4}\)
