Bài 1.20: Tìm giá trị của m sao cho \(\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) trong các trường hợp sau:
a) \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \)
b) \(\overrightarrow a = \overrightarrow { – b} \) và \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)
c) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 20,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5\)
d) \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) ngược hướng và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\left| {\overrightarrow b } \right| = 15\)
e) \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \)
g) \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \)
h) \(\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ,\overrightarrow b = \overrightarrow 0 \)
a) \(\vec a = \vec b \Rightarrow m = 1\)
b) \(\vec a = – \vec b \Rightarrow m = – 1\)
c) \(\vec a,\vec b\) cùng hướng \( \Rightarrow m > 0\) và \(\left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {{20} \over 5} = 4\)
Vậy m = 4.
d) \(\vec a,\vec b\) ngược hướng \( \Rightarrow m < 0\) và \(\left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {5 \over {15}} = {1 \over 3}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy \(m = – {1 \over 3}\)
e) \(\eqalign{
& \vec a = \vec 0 \Rightarrow \left| {\vec a} \right| = 0 \cr
& \Rightarrow \left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {0 \over {\left| {\vec b} \right|}} = 0 \Rightarrow m = 0 \cr} \)
g) \(\vec b = \vec 0 \Rightarrow \left| {\vec b} \right| = 0 \Rightarrow \left| m \right| = {{\left| {\vec a} \right|} \over {\left| {\vec b} \right|}} = {{\left| {\vec a} \right|} \over 0}\)
=> không tồn tại m.
h) \(\vec a = \vec b = \vec 0 \Rightarrow \) mọi giá trị của m đều thỏa mãn.
Bài 1.21: Chứng minh rằng:
a) Nếu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \) thì \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \)
b) \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \) và \(m \ne 0\) thì \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \)
Advertisements (Quảng cáo)
c) Nếu \(m\overrightarrow a = n\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a \ne 0\) thì m = n
a) \(\overrightarrow a = \overrightarrow b = > \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\) và \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng. Ta có \(\left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| m \right|\left| {\overrightarrow a } \right|,\left| {m\overrightarrow b } \right| = \left| m \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\) do đó \(\left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {m\overrightarrow b } \right|\)
\(m\overrightarrow a ,m\overrightarrow b \) cùng hướng . Vậy \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b \)
b) \(m\overrightarrow a = m\overrightarrow b = > \left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {m\overrightarrow b } \right| = > \left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\) vì \(m \ne 0\)
\(m\overrightarrow a ,m\overrightarrow b \) cùng hướng => \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
Vậy \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \)
c) \(m\overrightarrow a = n\overrightarrow a = > \left| {m\overrightarrow a } \right| = \left| {n\overrightarrow a } \right| = > \left| m \right| = \left| n \right|\) vì \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \)
\(m\overrightarrow a ,n\overrightarrow a \) cùng hướng => m và n cùng dấu.
Vậy m = n.
Bài 1.22: Chứng minh rằng tổng của n véc tơ \(\overrightarrow a \) bằng \(n\overrightarrow a \) (n là số nguyên dương).
\(\overrightarrow a + \overrightarrow a + … + \overrightarrow a = (1 + 1 + … + 1)\overrightarrow a = n\overrightarrow a \)
Bài 1.23: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) thì G là trọng tâm của tam giác ABC.
\(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GI} = \overrightarrow 0 \) (I là trung điểm của BC)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {GA} = – 2\overrightarrow {GI} \)
Từ đó suy ra ba điểm A, G, I thẳng hàng, trong đó GA = 2GI, G nằm giữa A và I.
Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.
