Bài 12: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
\(y = 4{x^3} – {x^4}\) với \(0 \le x \le 4\)
\(y = 4{x^3} – {x^4} = {x^3}(4 – x)\)
=> \(3y = x.x.x(12 – 3x) \le {({{x + x} \over 2})^2}{({{x + 12 – 3x} \over 2})^2}\)
\( = > 48 \le {{\rm{[}}2x(12 – 2x){\rm{]}}^2} \le {({{2x + 12 – 2x} \over 2})^4} = {6^4}\)
\( = > y \le {{{6^4}} \over {48}} = 27,\forall x \in {\rm{[}}0;4]\)
\(y = 27 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = x \hfill \cr
x = 12 – 3x \hfill \cr
2x = 12 – x \hfill \cr
x \in {\rm{[}}0;4] \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 3.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng 27 đạt được khi x = 3.
Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau trên tập xác định của nó
\(y = \sqrt {x – 1} + \sqrt {5 – x} \)
Advertisements (Quảng cáo)
Vế phải có nghĩa khi \(1 \le x \le 5\)
Ta có: \({y^2} = {(\sqrt {x – 1} + \sqrt {5 – x} )^2} = 4 + 2\sqrt {(x – 1)(5 – x)} \)
=> \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{y^2} \ge 4,\forall x \in {\rm{[}}1;5] \hfill \cr
{y^2} \le 4 + (x – 1) + (5 – x) = 8 \hfill \cr} \right. \cr
& = > \left\{ \matrix{
y \ge 2 \hfill \cr
y \le 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\forall x \in {\rm{[}}1;5] \cr} \)
Hơn nữa \(y = 2 \Leftrightarrow (x – 1)(5 – x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 1 \hfill \cr x = 5 \hfill \cr} \right.$\)
\(y = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow x – 1 = 5 – x \Leftrightarrow x = 3\)
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng \(2\sqrt 2 $\) khi x = 3, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2 khi x = 1 hoặc x = 5.
Bài 14: Chứng minh rằng:
\(\left| {x – z} \right| \le \left| {x – y} \right| + \left| {y – z} \right|,\forall x,y,z\)
\(\left| {x – z} \right| = \left| {(x – y) + (y – z)} \right| \le \left| {x – y} \right| + \left| {y – z} \right|\)
