Bài 55: Tìm các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a) \(5{x^2} – x + m > 0;\)
b) \(m{x^2} – 10x – 5 < 0.\)
a) \(\eqalign{
& 5{x^2} – x + m > 0,\forall x \cr
& \Leftrightarrow \Delta = 1 – 20m < 0 \Leftrightarrow m > {1 \over {20}} \cr} \)
b) Khi m = 0, bất phương trình trở thành -10x – 5 < 0 , không nghiệm đúng với mọi x.
Do đó bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
m < 0 \hfill \cr
\Delta ‘ = 25 + 5m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < – 5\)
Bài 56: Tìm các giá trị của tham số m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a) \(\eqalign{
& a){{{x^2} – mx – 2} \over {{x^2} – 3x + 4}} > – 1; \cr
& \cr} \)
b) \(m(m + 2){x^2} + 2mx + 2 < 0.\)
\(\eqalign{
& a){{{x^2} – mx – 2} \over {{x^2} – 3x + 4}} > – 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} – mx – 2 > – {x^2} + 3x – 4 \cr} \)
Do \({x^2} – 3x + 4 > 0,\forall x\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} – (m + 3)x + 2 > 0\)
Advertisements (Quảng cáo)
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi \(\Delta < 0\)
\({(m + 3)^2} – 16 < 0\)
\(\Leftrightarrow – 4 < m + 3 < 4 \Leftrightarrow – 7 < m < 1\)
b) +Nếu m = 0 thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x;
+Nếu m = -2 thì bất phương tình trở thành – 4x + 2 > 0, không nghiệm đúng với mọi x.
+ Nếu \(m \ne 0\) và \(m \ne – 2\) thì bất phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
m(m + 2) > 0 \hfill \cr
\Delta ‘ = {m^2} – 2m(m + 2) < 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m(m + 2) > 0 \hfill \cr
– {m^2} – 4m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < – 4;m > 0 \cr} \)
Đáp số: \(m < – 4;m \ge 0\).
Bài 57: Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm
Advertisements (Quảng cáo)
a) \(5{x^2} – x + m \le 0;\)
b) \(m{x^2} – 10x – 5 \ge 0.\)
a) Bất phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi \(5{x^2} – x + m > 0\) nghiệm đúng với mọi x.
\( \Leftrightarrow 1 – 20m < 0 \Leftrightarrow m > {1 \over {20}}\)
Đáp số: \(m > {1 \over {20}}\)
b) Cần tìm m để \(m{x^2} – 10x – 5 > 0,\forall x\) (1)
Nếu m = 0 thì bất phương trình (1) trở thành $$ – 10x – 5 < 0$$ không nghiệm đúng với mọi x.
Nếu \(m \ne 0\) thì bất phương trình (1) nghiệm đúng khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{
m < 0 \hfill \cr
\Delta ‘ = 25 + 5m < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m < – 5\)
Đáp số: m < -5.
Bài 58: Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt
a) \(({m^2} + m + 1){x^2} + (2m – 3)x + m – 5 = 0;\)
b) \({x^2} – 6mx + 2 – 2m + 9{m^2} = 0.\)
a) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương \({x_1},{x_2}\) phân biệt khi và chỉ khi
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ‘ > 0 \hfill \cr
– {b \over a} \hfill \cr
{c \over a} > 0 \hfill \cr} \right. > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{(2m – 3)^2} – 4(m – 5)({m^2} + m + 1) > 0 \hfill \cr
{{ – (2m – 3)} \over {{m^2} + m + 1}} > 0(1) \hfill \cr
{{m – 5} \over {{m^2} + m + 1}} > 0(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vì \({m^2} + m + 1 > 0\) nên bất phương trình (1) \( \Leftrightarrow m < {3 \over 2}\)
và bất phương trình (2) \( \Leftrightarrow m > 5\)
Do dó không có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán
b) Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\Delta ‘ > 0 \hfill \cr
– {b \over a} \hfill \cr
{c \over a} > 0 \hfill \cr} \right. > 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
9{m^2} – (2 – 2m + 9{m^2}) > 0 \hfill \cr
{{6m} \over 1} > 0 \hfill \cr
{{9{m^2} – 2m + 2} \over 1} > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2m – 2 > 0 \hfill \cr
m > 0 \hfill \cr
9{m^2} – 2m + 2 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > 1 \hfill \cr
\forall m \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m > 1. \cr} \)
Đáp số: m > 1.
